Упр.254 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 254. Доказать, что число а = n4 + 2n3 — n2 — 2n делится на 24 при любом n принадлежит N (т > 1). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 254 1012

Преобразуем выражение:

$$ a=n^4+2n^3-n^2-2n $$

Вынесем общий множитель $$n$$:

$$ a=n(n^3+2n^2-n-2) $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ a=n\bigl(n^2(n+2)-(n+2)\bigr) $$

$$ a=n(n+2)(n^2-1) $$

Разложим разность квадратов:

$$ a=n(n+2)(n-1)(n+1) $$

Среди четырёх последовательных чисел $$n-1,\ n,\ n+1,\ n+2$$ одно делится на $$4$$, одно — на $$3$$, а одно — на $$2$$. Значит, их произведение делится на $$2\cdot 3\cdot 4=24$$.

Следовательно, $$a$$ делится на $$24$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.

Ответ

$$a$$ делится на $$24$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.