Упр.251 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 251. Найти все целые n, при которых дробь а = (n4 — n3+2n2)/(n2+1) будет целым числом.

Преобразуем дробь:

$$ a=\frac{n^4-n^3+2n^2}{n^2+1} =\frac{n^2(n^2+1)-n(n^2+1)+n^2+n}{n^2+1} =n^2-n+\frac{n^2+n}{n^2+1}. $$

Чтобы $a$ было целым числом, дробь

$$\frac{n^2+n}{n^2+1}$$

должна быть целым числом.

Оценим её:

$$ -1<\frac{n^2+n}{n^2+1}<2. $$

Значит, целым может быть только одно из чисел $-1$, $0$, $1$.

Проверим:

$$ \frac{n^2+n}{n^2+1}=0 \;\Rightarrow\; n^2+n=0 \;\Rightarrow\; n(n+1)=0, $$

откуда

$$n=-1 \text{ или } n=0.$$

$$ \frac{n^2+n}{n^2+1}=1 \;\Rightarrow\; n^2+n=n^2+1 \;\Rightarrow\; n=1. $$

$$ \frac{n^2+n}{n^2+1}=-1 \;\Rightarrow\; n^2+n=-n^2-1 \;\Rightarrow\; 2n^2+n+1=0, $$

но это уравнение не имеет целых решений.

Проверим найденные значения:

$$ n=-1 \Rightarrow a=0,\qquad n=0 \Rightarrow a=0,\qquad n=1 \Rightarrow a=1. $$

Ответ

$$n=-1,\;0,\;1.$$