Упр.249 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 249. Доказать, что натуральные числа m и n делятся на 3, если число m2 + n2 делится на 3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 249 1012

Подробный ответ

Рассмотрим остатки натурального числа при делении на $3$. Любое натуральное число либо делится на $3$, либо имеет вид $$3k+1$$, либо имеет вид $$3k+2$$.

Предположим, что число $$m^2+n^2$$ делится на $3$. Докажем, что тогда и $$m$$, и $$n$$ делятся на $3$.

Если хотя бы одно из чисел $$m$$ или $$n$$ не делится на $3$, то его квадрат даёт при делении на $3$ остаток $1$:

$$ (3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1, $$
$$ (3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1. $$

Значит, квадрат числа, не делящегося на $3$, сравним с $1$ по модулю $3$.

Тогда возможны такие случаи:

если одно из чисел $$m,\ n$$ делится на $3$, а другое нет, то $$m^2+n^2 \equiv 0+1 \equiv 1 \pmod 3$$;
если оба числа не делятся на $3$, то $$m^2+n^2 \equiv 1+1 \equiv 2 \pmod 3$$.

В обоих случаях сумма $$m^2+n^2$$ не делится на $3$. Противоречие с условием.

Следовательно, оба числа $$m$$ и $$n$$ делятся на $3$.