Упр.248 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) a=2^2002 + 3^2002;
2) a=3^2002 + 7^2002.

1. Найдём остатки чисел $$2^{2002}$$ и $$3^{2002}$$ при делении на $$11$$.

   Так как

   $$2^{10}\equiv 1 \pmod{11}, \qquad 3^{10}\equiv 1 \pmod{11},$$

   то

   $$2002=10\cdot 200+2,$$

   следовательно,

   $$2^{2002}\equiv 2^2=4 \pmod{11},$$

   $$3^{2002}\equiv 3^2=9 \pmod{11}.$$

   Тогда

   $$a=2^{2002}+3^{2002}\equiv 4+9=13\equiv 2 \pmod{11}.$$

2. Теперь найдём остатки чисел $$3^{2002}$$ и $$7^{2002}$$ при делении на $$11$$.

   Имеем

   $$3^{10}\equiv 1 \pmod{11}, \qquad 7^{10}\equiv 1 \pmod{11}.$$

   Так как $$2002=10\cdot 200+2,$$ то

   $$3^{2002}\equiv 3^2=9 \pmod{11},$$

   $$7^{2002}\equiv 7^2=49\equiv 5 \pmod{11}.$$

   Следовательно,

   $$a=3^{2002}+7^{2002}\equiv 9+5=14\equiv 3 \pmod{11}.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$3$$.