Упр.247 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 247. Доказать, что число 96^9 — 32^5 — 48^6 делится на 10. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 247 1012

Рассмотрим остатки чисел при делении на $10$:

$$96 \equiv 6 \pmod{10}, \quad 32 \equiv 2 \pmod{10}, \quad 48 \equiv 8 \pmod{10}.$$

Тогда

$$96^9 — 32^5 — 48^6 \equiv 6^9 — 2^5 — 8^6 \pmod{10}.$$

Найдём последние цифры степеней:

$$6^n \equiv 6 \pmod{10} \quad \text{при любом } n \ge 1,$$

$$2^5 = 32 \equiv 2 \pmod{10},$$

$$8^2 = 64 \equiv 4 \pmod{10}, \quad 8^4 \equiv 6 \pmod{10}, \quad 8^6 = 8^4 \cdot 8^2 \equiv 6 \cdot 4 = 24 \equiv 4 \pmod{10}.$$

Следовательно,

$$96^9 — 32^5 — 48^6 \equiv 6 — 2 — 4 = 0 \pmod{10}.$$

Значит, число делится на $10$.

Ответ

Число $96^9 — 32^5 — 48^6$ делится на $10$.