Упр.246 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 246. Пусть натуральное число n не делится на 3. Доказать, что число n2 — 1 делится на 3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 246 1012

Подробный ответ

Если натуральное число $$n$$ не делится на $$3$$, то при делении на $$3$$ оно даёт остаток $$1$$ или $$2$$. Значит,

$$n=3k+1 \quad \text{или} \quad n=3k+2,$$

где $$k$$ — целое число.

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$n=3k+1$$, то

$$ n^2-1=(3k+1)^2-1=9k^2+6k+1-1=9k^2+6k=3(3k^2+2k). $$

Следовательно, $$n^2-1$$ делится на $$3$$.

2) Если $$n=3k+2$$, то

$$ n^2-1=(3k+2)^2-1=9k^2+12k+4-1=9k^2+12k+3=3(3k^2+4k+1). $$

Следовательно, $$n^2-1$$ также делится на $$3$$.

Итак, в обоих случаях число $$n^2-1$$ делится на $$3$$.