Упр.243 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) числа 39^46 на 5;
2) числа 64^29 на 7;
3) числа 103^15 на 17;
4) числа 10^10 + 28^3- 1 на 3;
5) числа 7 * 10^30 на 9.

Подробный ответ

Найдём остаток от деления числа $$39^{46}$$ на $$5$$.
Так как $$39=35+4=7\cdot 5+4$$, то
$$39^{46}=(35+4)^{46}.$$
При делении на $$5$$ число $$35$$ даёт остаток $$0$$, значит достаточно рассмотреть степень числа $$4$$:
$$4^2=16=15+1=5\cdot 3+1,$$
следовательно, остаток от деления $$39^{46}$$ на $$5$$ равен $$1$$.
Найдём остаток от деления числа $$64^{29}$$ на $$7$$.
$$64=63+1=7\cdot 9+1,$$
поэтому
$$64^{29}=(63+1)^{29}.$$
При делении на $$7$$ число $$63$$ даёт остаток $$0$$, значит остаток равен $$1$$.
Найдём остаток от деления числа $$103^{15}$$ на $$17$$.
$$103=102+1=17\cdot 6+1,$$
значит
$$103^{15}=(102+1)^{15}.$$
При делении на $$17$$ число $$102$$ даёт остаток $$0$$, поэтому остаток равен $$1$$.
Найдём остаток от деления числа $$10^{10}+28^3-1$$ на $$3$$.
$$10^{10}+28^3-1=(9+1)^{10}+(27+1)^3-1.$$
При делении на $$3$$ имеем $$9\equiv 0$$, $$27\equiv 0$$, значит
$$10^{10}+28^3-1\equiv 1^{10}+1^3-1=1 \pmod 3.$$
Следовательно, остаток равен $$1$$.
Найдём остаток от деления числа $$7\cdot 10^{30}$$ на $$9$$.
$$10=9+1,$$ значит
$$10^{30}=(9+1)^{30}\equiv 1^{30}=1 \pmod 9.$$
Тогда
$$7\cdot 10^{30}\equiv 7\cdot 1=7 \pmod 9.$$