Упр.241 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 241. Доказать, что если к произведению четырёх последовательных натуральных чисел прибавить единицу, то получится число, равное квадрату некоторого натурального числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 241 1012

Пусть четыре последовательных натуральных числа имеют вид $$n,\; n+1,\; n+2,\; n+3.$$ Тогда их произведение, увеличенное на 1, равно

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1.$$

Сгруппируем множители:

$$n(n+3)(n+1)(n+2)+1.$$

Заметим, что

$$n(n+3)=n^2+3n,$$

$$ (n+1)(n+2)=n^2+3n+2.$$

Тогда

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1.$$

Обозначим $$a=n^2+3n.$$ Тогда

$$a(a+2)+1=a^2+2a+1=(a+1)^2.$$

Возвращаясь к $$n$$, получаем

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2.$$

Значит, это действительно квадрат натурального числа.

Ответ

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2.$$