Упр.240 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 240. Доказать, что число (m + 5n + 7)6(3m + 7n + 2)7 делится на 64 при любых натуральных m и n. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 240 1012
Рассмотрим выражение $$\left(m+5n+7\right)^6\left(3m+7n+2\right)^7.$$
Докажем, что оно делится на $$64.$$
Заметим, что достаточно показать делимость одного из множителей на $$2,$$ тогда его шестая или седьмая степень будет делиться на $$2^6=64.$$
Если $$m$$ и $$n$$ чётные, то $$3m+7n+2$$ тоже чётное, значит
$$\left(3m+7n+2\right)^7 \text{ делится на } 2^7,$$
следовательно, и на $$64.$$
Если $$m$$ и $$n$$ нечётные, то $$3m+7n+2$$ также чётное, значит
$$\left(3m+7n+2\right)^7 \text{ делится на } 2^7,$$
следовательно, и на $$64.$$
Если одно из чисел $$m$$ и $$n$$ чётное, а другое нечётное, то $$m+5n+7$$ чётное, значит
$$\left(m+5n+7\right)^6 \text{ делится на } 2^6=64.$$
Во всех случаях произведение $$\left(m+5n+7\right)^6\left(3m+7n+2\right)^7$$ делится на $$64.$$
Ответ
$$\left(m+5n+7\right)^6\left(3m+7n+2\right)^7 \text{ делится на } 64.$$
