Упр.238 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 238. 1) Пусть х и у — такие натуральные числа, что число 7х + 9у делится на 11. Доказать, что число 57x + 78у делится на 11. 2) Сумма натуральных чисел тип делится на 7. Доказать, что число 2m2 + 5mn + 3n2 делится на 7. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 238 1012

1. Представим число $$57x+78y$$ в виде суммы слагаемых, содержащих выражение $$7x+9y$$:

   $$ 57x+78y=35x+22x+45y+33y $$

   $$ =5(7x+9y)+11(2x+3y). $$

   Так как $$7x+9y$$ делится на $$11$$, то и число $$5(7x+9y)$$ делится на $$11$$. Слагаемое $$11(2x+3y)$$ тоже делится на $$11$$. Значит, сумма $$57x+78y$$ делится на $$11$$.

2. Пусть $$m+n$$ делится на $$7$$. Тогда существует натуральное число $$k$$ такое, что

   $$m+n=7k.$$

   Преобразуем выражение:

   $$ 2m^2+5mn+3n^2=2m^2+2mn+3mn+3n^2 $$

   $$ =2m(m+n)+3n(m+n) $$

   $$ =(m+n)(2m+3n). $$

   Так как $$m+n$$ делится на $$7$$, то произведение $$ (m+n)(2m+3n) $$ также делится на $$7$$. Следовательно, число $$2m^2+5mn+3n^2$$ делится на $$7$$.

Ответ

1) $$57x+78y$$ делится на $$11$$.
2) $$2m^2+5mn+3n^2$$ делится на $$7$$.