Упр.235 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 235. Доказать, что на 8 делится: 1) куб чётного числа; 2) разность квадратов двух нечётных чисел. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 235 1012

Подробный ответ

1) Пусть чётное число равно $$2n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$. Тогда его куб:

$$ (2n)^3 = 8n^3. $$

Следовательно, куб чётного числа делится на $$8$$.

2) Пусть два нечётных числа равны $$2n+1$$ и $$2k+1$$, где $$n,k \in \mathbb{Z}$$. Рассмотрим разность их квадратов:

$$ (2n+1)^2-(2k+1)^2 = (4n^2+4n+1)-(4k^2+4k+1) $$

$$ =4(n^2-k^2)+4(n-k) =4(n-k)(n+k)+4(n-k) $$

$$ =4(n-k)(n+k+1). $$

Так как среди чисел $$n-k$$ и $$n+k+1$$ одно чётное, а другое нечётное, их произведение делится на $$2$$. Значит, всё выражение делится на $$8$$.