Упр.235 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Доказать, что на $$8$$ делится: 1) куб чётного числа; 2) разность квадратов двух нечётных чисел.

1) Пусть чётное число равно $$2n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$. Тогда его куб:

$$(2n)^3 = 8n^3.$$

Следовательно, куб чётного числа делится на $$8$$.

2) Пусть два нечётных числа равны $$2n+1$$ и $$2k+1$$, где $$n,k \in \mathbb{Z}$$. Рассмотрим разность их квадратов:

$$(2n+1)^2-(2k+1)^2 = (4n^2+4n+1)-(4k^2+4k+1)$$

$$=4(n^2-k^2)+4(n-k) =4(n-k)(n+k)+4(n-k)$$

$$=4(n-k)(n+k+1).$$

Так как среди чисел $$n-k$$ и $$n+k+1$$ одно чётное, а другое нечётное, их произведение делится на $$2$$. Значит, всё выражение делится на $$8$$.

Ответ

1) Делится на $$8$$.
2) Делится на $$8$$.