Упр.227 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) корень х=5;
2) |х| > -2;
3) х2-3 = 0;
4) х2 + 3 > 0
определить, истинным или ложным является высказывание (x)p(x); (х)р(х).

1. $$p(x): \sqrt{x}=5.$$

   Тогда $$x=25.$$ Значит, при любом $$x$$ высказывание не выполняется, а при $$x=25$$ — выполняется.

   $$\forall x\, p(x)$$ — ложь, $$\exists x\, p(x)$$ — истина.

2. $$p(x): |x|>-2.$$

   Так как $$|x|\ge 0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$, то неравенство $$|x|>-2$$ верно для всех действительных чисел.

   $$\forall x\, p(x)$$ — истина, $$\exists x\, p(x)$$ — истина.

3. $$p(x): x^2-3=0.$$

   Решаем уравнение:

   $$x^2=3,\quad x=\pm \sqrt{3}.$$

   Следовательно, высказывание верно не при всех $$x$$, но существует значение $$x$$, при котором оно истинно.

   $$\forall x\, p(x)$$ — ложь, $$\exists x\, p(x)$$ — истина.

4. $$p(x): x^2+3>0.$$

   Так как $$x^2\ge 0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$, то

   $$x^2+3\ge 3>0.$$

   Значит, высказывание истинно для всех действительных $$x$$.

   $$\forall x\, p(x)$$ — истина, $$\exists x\, p(x)$$ — истина.

Ответ

1) $$\forall x\, p(x)$$ — ложь, $$\exists x\, p(x)$$ — истина;
2) $$\forall x\, p(x)$$ — истина, $$\exists x\, p(x)$$ — истина;
3) $$\forall x\, p(x)$$ — ложь, $$\exists x\, p(x)$$ — истина;
4) $$\forall x\, p(x)$$ — истина, $$\exists x\, p(x)$$ — истина.