Упр.191 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 191. Три числа, сумма которых равна 78, образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Эти же три числа являются первым, третьим и девятым членами некоторой арифметической прогрессии. Найти большее из этих чисел. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 191 1012
Обозначим три числа геометрической прогрессии через $$b_1, b_2, b_3$$, где $$b_1+b_2+b_3=78$$ и $$q>1$$.
По условию эти же числа являются первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии:
$$a_1=b_1,\quad a_3=b_2,\quad a_9=b_3.$$
Тогда для арифметической прогрессии
$$a_3=a_1+2d,\quad a_9=a_1+8d.$$
С другой стороны, для геометрической прогрессии
$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$
Подставим:
$$a_1+2d=b_1q,\quad a_1+8d=b_1q^2.$$
Вычтем первое равенство из второго:
$$6d=b_1q^2-b_1q=b_1q(q-1).$$
Из первого равенства получаем
$$2d=b_1(q-1).$$
Умножим это равенство на 3:
$$6d=3b_1(q-1).$$
Приравниваем выражения для $$6d$$:
$$3b_1(q-1)=b_1q(q-1).$$
Так как прогрессия возрастающая, то $$q\neq 1$$, значит можно сократить на $$b_1(q-1)$$:
$$3=q.$$
Теперь найдём числа:
$$b_1+b_2+b_3=b_1+b_1q+b_1q^2=78,$$
$$b_1(1+3+9)=78,$$
$$13b_1=78,$$
$$b_1=6.$$
Тогда
$$b_3=b_1q^2=6\cdot 3^2=54.$$
Ответ
54
