Упр.189 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 189. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма первого и четвёртого членов равна 27, а сумма второго и третьего членов равна 18.

Обозначим первый член геометрической прогрессии через $$b_1$$, а знаменатель — через $$q$$. Тогда

$$b_4=b_1q^3,\quad b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$

По условию:

$$b_1+b_4=27,\qquad b_2+b_3=18.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} b_1+b_1q^3=27,\\ b_1q+b_1q^2=18. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$b_1(1+q^3)=27,$$

откуда

$$b_1=\frac{27}{1+q^3}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\frac{27}{1+q^3}\,q(1+q)=18.$$

Так как $$1+q^3=(1+q)(1-q+q^2),$$ то

$$\frac{27q}{1-q+q^2}=18.$$

Перемножим крест-накрест:

$$27q=18(1-q+q^2).$$

$$3q=2(1-q+q^2).$$

$$2q^2-5q+2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,$$

$$q=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Тогда

$$q_1=2,\qquad q_2=\frac12.$$

Найдём соответствующие значения $$b_1$$:

при $$q=2$$

$$b_1=\frac{27}{1+2^3}=\frac{27}{9}=3;$$

при $$q=\frac12$$

$$b_1=\frac{27}{1+\left(\frac12\right)^3}=\frac{27}{1+\frac18}=\frac{27}{\frac98}=24.$$

Проверка показывает, что оба набора удовлетворяют условию.

Ответ

$$b_1=3,\ q=2$$ или $$b_1=24,\ q=\frac12.$$