Упр.18 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) (1/(a2-b2) + b//(a3+b3): a2/(a6-b6);
2) (6a/(a2-4b2) + 2/(2b-a) — 4/(2b+a)): (1+(a2+4b2)/(4b2-a2));
3)y/(x3-x2y+xy2) + (x-2y)/(x3+y3))* (x3-xy2)/*(x2+y2) + 2y2/(x3+x2y+xy2+y3).

1. $$\left(\frac{1}{a^2-b^2}+\frac{b}{a^3+b^3}\right):\frac{a^2}{a^6-b^6}$$

   Разложим на множители:
   $$a^2-b^2=(a-b)(a+b), \quad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$
   $$a^6-b^6=(a^3-b^3)(a^3+b^3).$$

   Тогда
   $$ \left(\frac{1}{a^2-b^2}+\frac{b}{a^3+b^3}\right)\cdot \frac{a^6-b^6}{a^2} = \left(\frac{1}{a^2-b^2}+\frac{b}{a^3+b^3}\right)\cdot \frac{(a^3-b^3)(a^3+b^3)}{a^2}. $$

   Приведём к общему виду:
   $$ \frac{a^3+b^3}{a^2-b^2}+b = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a-b)(a+b)}+b = \frac{a^2-ab+b^2}{a-b}+b. $$

   После преобразований получаем:
   $$ \frac{a^2-ab+b^2+b(a-b)}{a-b}\cdot \frac{a^3-b^3}{a^2} = \frac{a^2}{a-b}\cdot \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2} = a^2+ab+b^2. $$

2. $$\left(\frac{6a}{a^2-4b^2}+\frac{2}{2b-a}-\frac{4}{2b+a}\right):\left(1+\frac{a^2+4b^2}{4b^2-a^2}\right)$$

   Используем разложение:
   $$a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b), \quad 4b^2-a^2=-(a^2-4b^2).$$

   Тогда
   $$ \frac{6a}{a^2-4b^2}+\frac{2}{2b-a}-\frac{4}{2b+a} = \frac{6a-2(a+2b)-4(a-2b)}{a^2-4b^2} = \frac{4b}{a^2-4b^2}. $$

   А знаменатель:
   $$ 1+\frac{a^2+4b^2}{4b^2-a^2} = \frac{4b^2-a^2+a^2+4b^2}{4b^2-a^2} = \frac{8b^2}{4b^2-a^2}. $$

   Поэтому
   $$ \frac{4b}{a^2-4b^2}:\frac{8b^2}{4b^2-a^2} = \frac{4b}{a^2-4b^2}\cdot \frac{4b^2-a^2}{8b^2} = -\frac{1}{2b}. $$

3. $$\left(\frac{y}{x^3-x^2y+xy^2}+\frac{x-2y}{x^3+y^3}\right)\cdot \frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}+\frac{2y^2}{x^3+x^2y+xy^2+y^3}$$

   Разложим на множители:
   $$x^3-x^2y+xy^2=x(x^2-xy+y^2),$$
   $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$
   $$x^3-xy^2=x(x-y)(x+y),$$
   $$x^3+x^2y+xy^2+y^3=(x+y)(x^2+y^2).$$

   Тогда
   $$ \frac{y}{x(x^2-xy+y^2)}+\frac{x-2y}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{y(x+y)+x(x-2y)}{x(x+y)(x^2-xy+y^2)}. $$

   Числитель:
   $$ y(x+y)+x(x-2y)=xy+y^2+x^2-2xy=x^2-xy+y^2. $$

   Значит,
   $$ \frac{y}{x(x^2-xy+y^2)}+\frac{x-2y}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{1}{x(x+y)}. $$

   Умножаем:
   $$ \frac{1}{x(x+y)}\cdot \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} = \frac{x-y}{x^2+y^2}. $$

   Теперь прибавим последнюю дробь:
   $$ \frac{x-y}{x^2+y^2}+\frac{2y^2}{(x+y)(x^2+y^2)} = \frac{(x-y)(x+y)+2y^2}{(x+y)(x^2+y^2)}. $$

   Так как
   $$ (x-y)(x+y)+2y^2=x^2-y^2+2y^2=x^2+y^2, $$
   то
   $$ \frac{x^2+y^2}{(x+y)(x^2+y^2)}=\frac{1}{x+y}. $$

Ответ

1) $$a^2+ab+b^2$$
2) $$-\frac{1}{2b}$$
3) $$\frac{1}{x+y}$$