Упр.157 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) (х2-6х+8)/(х2+2х-30х) < =0; 2) (x2+x-6)/(x2+x+1) > =0; 3) (x+2)^2 / (x-1)(x+5) > =0;
4)(x+3)^2(x+1)/(x-4) < =0; 5)(x-4)^2(x+2)/(x-5)^3 < =0; 6)(x+7)^3(x-2)/(x+3) > =0.

1. $$\frac{x^2-6x+8}{x^2+2x-3}\le 0$$

   Разложим на множители:
   $$x^2-6x+8=(x-2)(x-4),$$
   $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$

   Тогда
   $$\frac{(x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)}\le 0.$$
   Критические точки: $$x=-3,\;1,\;2,\;4.$$

   По методу интервалов получаем:
   $$x\in(-3;1)\cup[2;4].$$

2. $$\frac{x^2+x-6}{x^2+x+1}\ge 0$$

   $$x^2+x-6=(x+3)(x-2).$$

   Знаменатель всегда положителен, так как
   $$D=1-4=-3<0,$$ а старший коэффициент положителен. Значит, $$x^2+x+1>0$$
   при всех $$x.$$

   Поэтому нужно решить:
   $$(x+3)(x-2)\ge 0.$$
   Отсюда
   $$x\in(-\infty;-3]\cup[2;+\infty).$$

3. $$\frac{(x+2)^2}{(x-1)(x+5)}\ge 0$$

   Числитель неотрицателен при всех $$x$$ и равен нулю при $$x=-2$$. Знаменатель не должен обращаться в нуль:
   $$x\ne 1,\quad x\ne -5.$$

   Для положительности дроби нужно
   $$(x-1)(x+5)>0,$$
   откуда
   $$x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty).$$

   Кроме того, при $$x=-2$$ дробь равна нулю, и это значение подходит.

   Ответ:
   $$x\in(-\infty;-5)\cup\{-2\}\cup(1;+\infty).$$

4. $$\frac{(x+3)^2(x+1)}{x-4}\le 0$$

   Так как $$ (x+3)^2\ge 0 $$, знак дроби определяется выражением
   $$\frac{x+1}{x-4}\le 0,$$
   а также точкой $$x=-3$$, где числитель равен нулю.

   Решаем неравенство:
   $$\frac{x+1}{x-4}\le 0.$$
   Критические точки: $$x=-1,\;4.$$
   Тогда
   $$x\in[-1;4).$$

   С учётом точки $$x=-3$$ получаем:
   $$x\in\{-3\}\cup[-1;4).$$

5. $$\frac{(x-4)^2(x+2)}{(x-5)^3}\le 0$$

   Так как $$ (x-4)^2\ge 0 $$, достаточно рассмотреть
   $$\frac{x+2}{x-5}\le 0,$$
   при этом $$x\ne 5$$, а точка $$x=4$$ даёт нуль и подходит.

   Решаем:
   $$\frac{x+2}{x-5}\le 0.$$
   Критические точки: $$x=-2,\;5.$$
   Отсюда
   $$x\in[-2;5).$$

   Точка $$x=4$$ уже входит в этот промежуток.

6. $$\frac{(x+7)^3(x-2)}{x+3}\ge 0$$

   Так как степень $$3$$ нечётная, знак множителя $$ (x+7)^3 $$ совпадает со знаком $$x+7$$. Тогда достаточно исследовать
   $$\frac{(x+7)(x-2)}{x+3}\ge 0.$$

   Критические точки: $$x=-7,\;-3,\;2.$$
   По методу интервалов получаем:
   $$x\in[-7;-3)\cup[2;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-3;1)\cup[2;4]$$;
2) $$(-\infty;-3]\cup[2;+\infty)$$;
3) $$(-\infty;-5)\cup\{-2\}\cup(1;+\infty)$$;
4) $$\{-3\}\cup[-1;4)$$;
5) $$[-2;5)$$;
6) $$[-7;-3)\cup[2;+\infty)$$.