Упр.148 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 148. Число 6 представить в виде суммы таких двух чисел, сумма кубов которых наибольшая. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 148 1012

Пусть искомые числа $$x$$ и $$y$$. Тогда

$$x+y=6,\qquad y=6-x.$$

Рассмотрим сумму кубов:

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$

Так как $$x+y=6$$, получаем

$$x^3+y^3=6\bigl(x^2-x(6-x)+(6-x)^2\bigr).$$

Упростим выражение:

$$x^3+y^3=6(3x^2-18x+36).$$

Чтобы сумма кубов была наибольшей, нужно максимизировать выражение $$3x^2-18x+36$$. Это квадратный трёхчлен, ветви параболы направлены вверх, значит наибольшее значение на промежутке при фиксированной сумме достигается в вершине:

$$x_0=\frac{-(-18)}{2\cdot 3}=3.$$

Тогда

$$y=6-3=3.$$

Следовательно, искомые числа равны $$3$$ и $$3$$.

Ответ

$$3+3$$