Упр.139 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) у = х2 + 2х -4; 2) у= -х2 + 4х — 5;
3) у =-х2 — х + 2; 4) у = х2 + 4х — 5.
Найти: а) координаты вершины параболы; б) нули функции; в) интервалы знакопостоянства функции; г) наибольшее или наименьшее значение функции.

1. 1) $$y=x^2+2x-4$$

   Найдём вершину параболы:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1,$$

   $$y_0=(-1)^2+2\cdot(-1)-4=1-2-4=-5.$$

   Значит, вершина: $$(-1;\,-5).$$

   Нули функции:

   $$x^2+2x-4=0,$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-4)=4+16=20,$$

   $$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt5}{2}=-1\pm\sqrt5.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то:

   $$y>0,\ x\in(-\infty;\,-1-\sqrt5)\cup(-1+\sqrt5;\,+\infty),$$

   $$y<0,\ x\in(-1-\sqrt5;\,-1+\sqrt5).$$

   Наименьшее значение функции:

   $$y_{\min}=-5.$$

2. 2) $$y=-x^2+4x-5$$

   Координаты вершины:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,$$

   $$y_0=-(2)^2+4\cdot 2-5=-4+8-5=-1.$$

   Вершина: $$ (2;\,-1). $$

   Нули функции:

   $$-x^2+4x-5=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2-4x+5=0,$$

   $$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4<0.$$

   Следовательно, действительных корней нет.

   Так как ветви направлены вниз и вершина ниже оси $$Ox$$, то:

   $$y<0,\ x\in(-\infty;\,+\infty).$$

   Наибольшее значение функции:

   $$y_{\max}=-1.$$

3. 3) $$y=-x^2-x+2$$

   Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot(-1)}=-\frac12,$$

   $$y_0=-\left(-\frac12\right)^2-\left(-\frac12\right)+2=-\frac14+\frac12+2=\frac94.$$

   Вершина: $$\left(-\frac12;\,\frac94\right).$$

   Нули функции:

   $$-x^2-x+2=0,$$

   $$x^2+x-2=0,$$

   $$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9,$$

   $$x=\frac{-1\pm 3}{2},$$

   $$x_1=1,\quad x_2=-2.$$

   Так как ветви направлены вниз, то:

   $$y>0,\ x\in(-2;\,1),$$

   $$y<0,\ x\in(-\infty;\,-2)\cup(1;\,+\infty).$$

   Наибольшее значение функции:

   $$y_{\max}=\frac94.$$

4. 4) $$y=x^2+4x-5$$

   Координаты вершины:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2,$$

   $$y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)-5=4-8-5=-9.$$

   Вершина: $$(-2;\,-9).$$

   Нули функции:

   $$x^2+4x-5=0,$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,$$

   $$x=\frac{-4\pm 6}{2},$$

   $$x_1=-5,\quad x_2=1.$$

   Так как ветви направлены вверх, то:

   $$y>0,\ x\in(-\infty;\,-5)\cup(1;\,+\infty),$$

   $$y<0,\ x\in(-5;\,1).$$

   Наименьшее значение функции:

   $$y_{\min}=-9.$$

Ответ

1. $$(-1;\,-5),\quad x=-1\pm\sqrt5,\quad y>0 \text{ при } x\in(-\infty;\,-1-\sqrt5)\cup(-1+\sqrt5;\,+\infty),\quad y<0 \text{ при } x\in(-1-\sqrt5;\,-1+\sqrt5),\quad y_{\min}=-5.$$

2. $$ (2;\,-1),\quad \text{действительных нулей нет},\quad y<0 \text{ при всех } x,\quad y_{\max}=-1.$$

3. $$\left(-\frac12;\,\frac94\right),\quad x=-2,\ 1,\quad y>0 \text{ при } x\in(-2;\,1),\quad y<0 \text{ при } x\in(-\infty;\,-2)\cup(1;\,+\infty),\quad y_{\max}=\frac94.$$

4. $$(-2;\,-9),\quad x=-5,\ 1,\quad y>0 \text{ при } x\in(-\infty;\,-5)\cup(1;\,+\infty),\quad y<0 \text{ при } x\in(-5;\,1),\quad y_{\min}=-9.$$