Упр.1276 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1276. Немецкий врач, астролог и математик Т. Финк (1561 — 1656) решил следующую геодезическую задачу: «Найти углы (а и 0) треугольника, если известна их сумма у и отношение противолежащих этим углам сторон К*. Решить эту задачу, используя теорему тангенсов, сформулированную в главе VIII.

По теореме синусов для треугольника имеем

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta},$$

откуда

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=K.$$

По теореме тангенсов

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tg \frac{\alpha-\beta}{2}}{\tg \frac{\alpha+\beta}{2}}.$$

Так как $$\alpha+\beta=\varphi,$$ то

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tg \frac{\alpha-\beta}{2}}{\tg \frac{\varphi}{2}}.$$

С другой стороны, из $$\frac{a}{b}=K$$ получаем

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\frac{a}{b}-1}{\frac{a}{b}+1}=\frac{K-1}{K+1}.$$

Следовательно,

$$\frac{\tg \frac{\alpha-\beta}{2}}{\tg \frac{\varphi}{2}}=\frac{K-1}{K+1},$$

то есть

$$\tg \frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{K-1}{K+1}\tg \frac{\varphi}{2}.$$

Тогда

$$\alpha-\beta=2\arctg \frac{(K-1)\tg \frac{\varphi}{2}}{K+1}.$$

Решая систему

$$ \begin{cases} \alpha+\beta=\varphi,\\ \alpha-\beta=2\arctg \dfrac{(K-1)\tg \frac{\varphi}{2}}{K+1}, \end{cases} $$

получаем

$$\alpha=\frac{\varphi}{2}+\arctg \frac{(K-1)\tg \frac{\varphi}{2}}{K+1},$$

$$\beta=\frac{\varphi}{2}-\arctg \frac{(K-1)\tg \frac{\varphi}{2}}{K+1}.$$

Ответ

$$\alpha=\frac{\varphi}{2}+\arctg \frac{(K-1)\tg \frac{\varphi}{2}}{K+1},\qquad \beta=\frac{\varphi}{2}-\arctg \frac{(K-1)\tg \frac{\varphi}{2}}{K+1}.$$