Упр.1274 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 11274.1 Найти все значения а, при которых уравнение sin2х-2av2(sinx + cosx) + 1-6a^2 = 0 имеет корни, и решить это уравнение.

Преобразуем уравнение:

$$\sin 2x-2a\sqrt{2}(\sin x+\cos x)+1-6a^2=0.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ а также

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$

то получаем

$$2\sin x\cos x-4a\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1-6a^2=0.$$

Удобнее использовать формулу

$$\sin 2x=1-\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-1.$$

Тогда

$$2\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-2a\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1-6a^2=0,$$

то есть

$$2\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-4a\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1-6a^2=0.$$

После деления на $2$:

$$\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-2a\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-3a^2=0.$$

Обозначим

$$y=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда имеем квадратное уравнение

$$y^2-2ay-3a^2=0.$$

Его корни:

$$D=(2a)^2+12a^2=16a^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{2a\pm 4|a|}{2}.$$

Проще разложить на множители:

$$y^2-2ay-3a^2=(y+a)(y-3a)=0.$$

Значит,

$$y=-a \quad \text{или} \quad y=3a.$$

Чтобы уравнение имело корни, хотя бы одно из этих значений должно принадлежать отрезку $$[-1;1].$$

1) Для $$y=-a$$ нужно:

$$-1\le -a\le 1 \quad \Longleftrightarrow \quad -1\le a\le 1.$$

2) Для $$y=3a$$ нужно:

$$-1\le 3a\le 1 \quad \Longleftrightarrow \quad -\frac13\le a\le \frac13.$$

Следовательно, уравнение имеет корни при $$|a|\le 1.$$

Теперь решим уравнение.

Если $$|a|\le \frac13,$$ то оба значения допустимы:

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-a,$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=3a.$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{4}=\pm \arccos(-a)+2\pi n,$$

$$x-\frac{\pi}{4}=\pm \arccos(3a)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как $$\arccos(-a)=\pi-\arccos a,$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{4}\pm\left(\pi-\arccos a\right)+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(3a)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Если $$\frac13<|a|\le 1,$$ то значение $$3a$$ не подходит, и остаётся только

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-a,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{4}\pm\left(\pi-\arccos a\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

Если $$|a|\le \frac13,$$ то

$$x=\frac{\pi}{4}\pm\left(\pi-\arccos a\right)+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(3a)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Если $$\frac13<|a|\le 1,$$ то

$$x=\frac{\pi}{4}\pm\left(\pi-\arccos a\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$