Упр.1273 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1273. Найти все значения а, при которых уравнение sin^10x + cos^10x = а имеет корни.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\sin^{10}x+\cos^{10}x=\left(\sin^2x\right)^5+\left(\cos^2x\right)^5.$$

Используем формулы

$$\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$

Тогда

$$\sin^{10}x+\cos^{10}x=\frac{(1-\cos 2x)^5+(1+\cos 2x)^5}{2^5}.$$

Раскроем скобки:

$$\frac{(1-\cos 2x)^5+(1+\cos 2x)^5}{32}=\frac{2+20\cos^2 2x+10\cos^4 2x}{32}.$$

Следовательно, уравнение равносильно

$$10\cos^4 2x+20\cos^2 2x+2=32a,$$

или

$$5\cos^4 2x+10\cos^2 2x+(1-16a)=0.$$

Положим $$y=\cos^2 2x,$$ тогда $$y\in[0,1]$$ и получаем квадратное уравнение

$$5y^2+10y+(1-16a)=0.$$

Чтобы у него был корень из отрезка $$[0,1],$$ нужно, чтобы значение выражения $$\sin^{10}x+\cos^{10}x$$ лежало в его области значений.

Заметим, что

$$\sin^{10}x+\cos^{10}x=(\sin^2x)^5+(\cos^2x)^5,$$

где $$\sin^2x+\cos^2x=1.$$ Обозначим $$t=\sin^2x,$$ тогда $$\cos^2x=1-t,$$ $$t\in[0,1].$$ Получаем

$$f(t)=t^5+(1-t)^5.$$

На отрезке $$[0,1]$$ эта функция принимает наименьшее значение при $$t=\frac12$$, а наибольшее — при $$t=0$$ или $$t=1$$:

$$f\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^5+\left(\frac12\right)^5=\frac1{16},$$

$$f(0)=0^5+1^5=1,\qquad f(1)=1^5+0^5=1.$$

Значит, уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда

$$\frac1{16}\le a\le 1.$$

Ответ

$$\frac1{16}\le a\le 1.$$