Упр.1272 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1272. При каких значениях а уравнение sin^4x + cos^4x = а имеет корни? Найти эти корни.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то

$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x,$$

следовательно,

$$1-\frac{1}{2}\sin^2 2x=a.$$

Используем формулу $$\sin^2 2x=\frac{1-\cos 4x}{2}:$$

$$1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1-\cos 4x}{2}=a,$$

$$1-\frac{1-\cos 4x}{4}=a,$$

$$\frac{3+\cos 4x}{4}=a,$$

$$\cos 4x=4a-3.$$

Чтобы уравнение имело корни, необходимо и достаточно, чтобы

$$-1\le 4a-3\le 1.$$

Отсюда

$$2\le 4a\le 4,$$

$$\frac12\le a\le 1.$$

При этих значениях $$a$$ решаем уравнение

$$\cos 4x=4a-3.$$

Тогда

$$4x=\pm \arccos(4a-3)+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

и, значит,

$$x=\pm \frac14\arccos(4a-3)+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$\frac12\le a\le 1; \quad x=\pm \frac14\arccos(4a-3)+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z}.$$