Упр.1271 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 11271. Найти все значения а, при которых уравнение sin^2x — sinx cosx — 2cos^2x = a не имеет корней. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 1271 1012

Преобразуем уравнение, используя тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

$$\sin^2 x-\sin x\cos x-2\cos^2 x=a$$

$$\sin^2 x-\sin x\cos x-2\cos^2 x-a(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

$$ (1-a)\sin^2 x-\sin x\cos x-(2+a)\cos^2 x=0.$$

Если $$\cos x\neq 0,$$ разделим на $$\cos^2 x$$ и введём замену $$t=\tg x$$:

$$ (1-a)t^2-t-(2+a)=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$t$$. Чтобы оно не имело действительных корней, его дискриминант должен быть отрицательным:

$$D= (-1)^2-4(1-a)(-(2+a))=1+4(1-a)(2+a).$$

Упростим:

$$D=1+4(2+a-2a-a^2)=1+8-4a-4a^2=-4a^2-4a+9.$$

Требуем:

$$-4a^2-4a+9<0,$$

$$4a^2+4a-9>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$4a^2+4a-9=0,$$

$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-9)=16+144=160,$$

$$a=\frac{-4\pm\sqrt{160}}{8}=\frac{-4\pm 4\sqrt{10}}{8}=\frac{-1\pm\sqrt{10}}{2}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$4a^2+4a-9>0$$

при

$$a<\frac{-1-\sqrt{10}}{2}\quad \text{или}\quad a>\frac{-1+\sqrt{10}}{2}.$$

При этих значениях уравнение не имеет корней.

Ответ

$$a<\frac{-1-\sqrt{10}}{2}\quad \text{или}\quad a>\frac{\sqrt{10}-1}{2}.$$