Упр.1270 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

4 sin^2x 4- 2(а — 3)cosx 4- 3a — 4 = О имеет корни, и решить это уравнение.

Преобразуем уравнение:

$$4\sin^2 x+2(a-3)\cos x+3a-4=0.$$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ получаем

$$4(1-\cos^2 x)+2(a-3)\cos x+3a-4=0,$$

$$4\cos^2 x-2(a-3)\cos x-3a=0.$$

Обозначим $$y=\cos x.$$ Тогда

$$4y^2-2(a-3)y-3a=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=[-2(a-3)]^2-4\cdot 4\cdot(-3a)=4(a-3)^2+48a=4(a+3)^2.$$

Тогда корни квадратного уравнения:

$$y_{1,2}=\frac{2(a-3)\pm 2(a+3)}{8}.$$

Получаем

$$y_1=\frac{2(a-3)-2(a+3)}{8}=-\frac{3}{2},$$

$$y_2=\frac{2(a-3)+2(a+3)}{8}=\frac{a}{2}.$$

Значение $$y_1=-\frac{3}{2}$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$

Чтобы уравнение имело корни, должно выполняться

$$-1\le \frac{a}{2}\le 1,$$

откуда

$$-2\le a\le 2.$$

При этих значениях

$$\cos x=\frac{a}{2},$$

и общее решение имеет вид

$$x=\pm \arccos\frac{a}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$a\in[-2;2],\qquad x=\pm \arccos\frac{a}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$