Упр.127 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 1/x1 + 1/x2; 2)x1^2 + x2^2; 3)x1^3 + x2^3.

По теореме Виета для уравнения $$x^2-3x-4=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=3,\qquad x_1x_2=-4.$$

1. Найдём сумму обратных корней:

   $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}.$$

2. Найдём сумму квадратов:

   $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2\cdot(-4)=9+8=17.$$

3. Найдём сумму кубов:

   $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2).$$

   Так как

   $$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2,$$

   то

   $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr)=3\bigl(3^2-3\cdot(-4)\bigr)=3(9+12)=63.$$

Ответ

1) $$-\frac{3}{4}$$; 2) $$17$$; 3) $$63$$.