Упр.1269 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1269. Найти все решения неравенства sin x sin2x < sin3x sin4x на интервале (0; pi/2)

Преобразуем неравенство с помощью формулы произведения в разность косинусов:

$$\sin x\sin 2x=\frac{\cos(x-2x)-\cos(x+2x)}{2}=\frac{\cos x-\cos 3x}{2},$$

$$\sin 3x\sin 4x=\frac{\cos(3x-4x)-\cos(3x+4x)}{2}=\frac{\cos x-\cos 7x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\cos x-\cos 3x}{2}<\frac{\cos x-\cos 7x}{2}.$$

Умножим на $2$ и перенесём всё в одну сторону:

$$\cos x-\cos 3x<\cos x-\cos 7x,$$

$$\cos 7x-\cos 3x<0.$$

Применим формулу разности косинусов:

$$\cos 7x-\cos 3x=-2\sin 5x\sin 2x.$$

Получаем:

$$-2\sin 5x\sin 2x<0,$$

$$\sin 5x\sin 2x>0.$$

На интервале $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ нужно, чтобы оба множителя были одного знака.

1) Оба положительны:

$$\sin 5x>0,\qquad \sin 2x>0.$$

Так как $$0<x<\frac{\pi}{2},$$ то

$$0<2x<\pi,$$

значит $$\sin 2x>0$$ на всём интервале. Остаётся условие

$$\sin 5x>0,$$

то есть

$$2\pi n<5x<\pi+2\pi n,$$

$$\frac{2\pi n}{5}<x<\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5}.$$

Пересечение с $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ даёт:

$$0<x<\frac{\pi}{5}$$

и

$$\frac{2\pi}{5}<x<\frac{\pi}{2}.$$

2) Оба отрицательны:

$$\sin 5x<0,\qquad \sin 2x<0.$$

Но на интервале $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем $$\sin 2x>0,$$ поэтому этот случай невозможен.

Следовательно, все решения неравенства на интервале $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ таковы:

$$x\in\left(0;\frac{\pi}{5}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{5};\frac{\pi}{2}\right).$$

Ответ

$$x\in\left(0;\frac{\pi}{5}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{5};\frac{\pi}{2}\right).$$