Упр.1268 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1268. Найти все решения неравенства cosx — sinx -cos2x > 0 на интервале (0; 2пи). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 1268 1012

Подробный ответ

Преобразуем неравенство:

$$\cos x-\sin x-\cos 2x>0$$

Так как $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x),$$ то

$$\cos x-\sin x-(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)>0,$$

$$ (\cos x-\sin x)(1-\cos x-\sin x)>0.$$

Представим множители через угол $$x+\frac{\pi}{4}$$:

$$\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$

$$1-\cos x-\sin x=1-\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)>0.$$

Произведение положительно, если оба множителя одного знака.

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0,\qquad \frac{\sqrt{2}}{2}-\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0,$$
то есть
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$
$$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x&lt{2\pi n}.$$
На интервале $$\left(0;2\pi\right)$$ получаем
$$0<x<\frac{\pi}{4}.$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<0,\qquad \frac{\sqrt{2}}{2}-\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<0,$$
то есть
$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
На интервале $$\left(0;2\pi\right)$$ получаем
$$\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}.$$

Объединяя найденные промежутки, получаем:

$$0<x<\frac{\pi}{2}.$$