Упр.1266 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin(3х/2) + cos(3х/2) > 0;
2) cos2x+cosx > =0

1. $$\sin \frac{3x}{2}+\cos \frac{3x}{2}>0.$$
   Представим сумму в виде одной функции:
   $$\sin \frac{3x}{2}+\cos \frac{3x}{2}=\sqrt{2}\sin\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4}\right).$$
   Тогда
   $$\sin\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)>0.$$
   Синус положителен при
   $$2\pi n<\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4}<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$ Отсюда $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<\frac{3x}{2}<\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$ $$-\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi n}{3}

2. $$\cos 2x+\cos x\ge 0.$$
   Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
   $$2\cos^2 x+\cos x-1\ge 0.$$
   Обозначим $$t=\cos x$$, тогда
   $$2t^2+t-1\ge 0,$$
   $$\left(2t-1\right)\left(t+1\right)\ge 0.$$
   Отсюда
   $$t\le -1 \quad \text{или} \quad t\ge \frac12.$$
   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ получаем:
   $$\cos x=-1 \quad \text{или} \quad \cos x\ge \frac12.$$
   Значит,
   $$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   или
   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi n}{3}