Упр.1264 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
$$\begin{cases} \ctg^4 2x+32\sin^2 y=55,\\ \dfrac{1}{\sin^2 2x}-4\cos y=5. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$1+\ctg^2 2x-4\cos y=5,$$
$$4\cos y=\ctg^2 2x-4,$$
$$16\cos^2 y=\ctg^4 2x-8\ctg^2 2x+16.$$Из первого уравнения, учитывая $$\sin^2 y=1-\cos^2 y$$:
$$\ctg^4 2x+32-32\cos^2 y=55,$$
$$\ctg^4 2x-32\cos^2 y-23=0.$$Подставим выражение для $$16\cos^2 y$$:
$$\ctg^4 2x-2\ctg^4 2x+16\ctg^2 2x-32=23,$$
$$\ctg^4 2x-16\ctg^2 2x+55=0.$$Обозначим $$t=\ctg^2 2x$$. Тогда
$$t^2-16t+55=0,$$
$$D=16^2-4\cdot 55=36,$$
$$t_1=5,\quad t_2=11.$$Значение $$t_2=11$$ не подходит, так как из второго уравнения
$$4\cos y=\ctg^2 2x-4,$$
и при $$\ctg^2 2x=11$$ получаем $$\cos y=\dfrac{7}{4}$$, что невозможно.
Значит,
$$\ctg^2 2x=5,$$
$$\ctg 2x=\pm\sqrt5,$$
$$\tg 2x=\pm\dfrac{1}{\sqrt5}.$$Тогда
$$2x=\pm \arctg \dfrac{1}{\sqrt5}+\pi n,$$
$$x=\pm \dfrac12 \arctg \dfrac{1}{\sqrt5}+\dfrac{\pi n}{2}.$$Найдём $$y$$:
$$4\cos y=5-4=1,$$
$$\cos y=\dfrac14,$$
$$y=\pm \arccos \dfrac14+2\pi k.$$$$\begin{cases} \tg x+\tg y+\tg x\,\tg y=1,\\ \sin 2y-\sqrt2\sin x=1. \end{cases}$$
Первое уравнение:
$$\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\sin y}{\cos y}+\tg x\,\tg y=1,$$
$$\sin(x+y)=\cos(x+y),$$
$$\tg(x+y)=1,$$
$$x+y=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$y=\dfrac{\pi}{4}-x+\pi n.$$Второе уравнение:
$$\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)-\sqrt2\sin x=1,$$
$$\cos 2x-\sqrt2\sin x=1,$$
$$1-2\sin^2 x-\sqrt2\sin x=1,$$
$$2\sin^2 x+\sqrt2\sin x=0,$$
$$\sqrt2\sin x(\sqrt2\sin x+1)=0.$$Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\dfrac{1}{\sqrt2}.$$1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi k,$$
тогда
$$y=\dfrac{\pi}{4}-\pi k+\pi n.$$2) $$\sin x=-\dfrac{1}{\sqrt2} \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k \ \text{или}\ x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k.$$
Тогда
$$y=\dfrac{\pi}{4}-x+\pi n,$$
откуда
$$y=\dfrac{\pi}{2}-2\pi k+\pi n \quad \text{или} \quad y=\pi-2\pi k+\pi n.$$$$\begin{cases} \cos 2x-2\cos^2 y+2=0,\\ \cos x\sqrt{\cos y}=0. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos y=0.$$Если $$\cos x=0$$, то
$$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\cos \pi-2\cos^2 y+2=0,$$
$$-1-2\cos^2 y+2=0,$$
$$\cos^2 y=\dfrac12,$$
$$\cos y=\pm\dfrac{\sqrt2}{2},$$
$$y=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k.$$Если $$\cos y=0$$, то
$$y=\dfrac{\pi}{2}+\pi n.$$
Тогда
$$\cos 2x-2\cdot 0+2=0,$$
$$\cos 2x=-2,$$
что невозможно.$$\begin{cases} \sqrt{1+\sin x\sin y}=\cos y,\\ 2\ctg x\sin y+\sqrt3=0. \end{cases}$$
Так как $$\sqrt{1+\sin x\sin y}=\cos y,$$ то
$$1+\sin x\sin y=\cos^2 y,$$
$$1-\cos^2 y+\sin x\sin y=0,$$
$$\sin^2 y+\sin x\sin y=0,$$
$$\sin y(\sin y+\sin x)=0.$$Значит,
$$\sin y=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\sin y=0.$$1) $$\sin y=0 \Rightarrow y=\pi n.$$
Тогда из второго уравнения:
$$2\ctg x\cdot 0+\sqrt3=0,$$
что невозможно.2) $$\sin x+\sin y=0.$$
Тогда
$$2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}=0,$$
откуда
$$x+y=2\pi n \quad \text{или} \quad x-y=\pi+2\pi n.$$Если $$y=-x+2\pi n$$, то
$$2\ctg x\sin(-x)+\sqrt3=0,$$
$$-2\ctg x\sin x=-\sqrt3,$$
$$\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2},$$
$$x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,$$
$$y=\mp\dfrac{\pi}{6}+2\pi n.$$Если $$y=x-\pi-2\pi n$$, то
$$2\ctg x\sin(x-\pi)+\sqrt3=0,$$
$$-2\ctg x\sin x=-\sqrt3,$$
$$\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2},$$
$$x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,$$
$$y=\pm\dfrac{\pi}{6}-\pi-2\pi n.$$
Ответ
1) $$\left(\pm\dfrac12 \arctg \dfrac{1}{\sqrt5}+\dfrac{\pi n}{2};\ \pm \arccos \dfrac14+2\pi k\right).$$
2) $$\left(\pi k;\ \dfrac{\pi}{4}-\pi k+\pi n\right),\ \left(-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\ \dfrac{\pi}{2}-2\pi k+\pi n\right),\ \left(-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k;\ \pi-2\pi k+\pi n\right).$$
3) $$\left(\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k\right).$$
4) $$\left(\dfrac{\pi}{6}+2\pi k;\ -\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\right),\ \left(-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k;\ \dfrac{\pi}{6}+2\pi n\right),\ \left(\dfrac{\pi}{6}+2\pi k;\ -\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\ \left(-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k;\ -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\right).$$
