Упр.1263 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sinx+cosy=1
sin^2x+cos^2y=1/2
2) 4sinx-2siny=3
2cosx-cosy=0

1. Из первого уравнения
   $$\sin x+\cos y=1$$
   получаем
   $$\sin x=1-\cos y.$$

   Подставим это во второе уравнение:
   $$ \sin^2 x+\cos^2 y=\frac12 $$
   $$ (1-\cos y)^2+\cos^2 y=\frac12. $$
   Тогда
   $$ 1-2\cos y+\cos^2 y+\cos^2 y=\frac12, $$
   $$ 2\cos^2 y-2\cos y+\frac12=0. $$
   Умножим на $4$:
   $$ 4\cos^2 y-4\cos y+1=0, $$
   $$ (2\cos y-1)^2=0. $$
   Значит,
   $$ \cos y=\frac12. $$
   Отсюда
   $$ y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

   Тогда
   $$ \sin x=1-\frac12=\frac12, $$
   поэтому
   $$ x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

2. Из первого уравнения
   $$ 4\sin x-2\sin y=3 $$
   получаем
   $$ \sin y=2\sin x-\frac32. $$
   Из второго уравнения
   $$ 2\cos x-\cos y=0 $$
   имеем
   $$ \cos y=2\cos x. $$

   Возведём оба равенства в квадрат и сложим:
   $$ \sin^2 y=4\sin^2 x-6\sin x+\frac94, $$
   $$ \cos^2 y=4\cos^2 x. $$
   Тогда
   $$ \sin^2 y+\cos^2 y=4\sin^2 x+4\cos^2 x-6\sin x+\frac94. $$
   Так как
   $$ \sin^2 y+\cos^2 y=1,\qquad \sin^2 x+\cos^2 x=1, $$
   получаем
   $$ 1=4-6\sin x+\frac94, $$
   $$ 6\sin x=\frac{21}{4}, $$
   $$ \sin x=\frac78. $$
   Следовательно,
   $$ x=(-1)^n\arcsin\frac78+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

   Найдём $y$:
   $$ 4\sin x-2\sin y=3, $$
   $$ 4\cdot\frac78-2\sin y=3, $$
   $$ \frac72-2\sin y=3, $$
   $$ 2\sin y=\frac12, $$
   $$ \sin y=\frac14. $$
   Тогда
   $$ y=(-1)^k\arcsin\frac14+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad y=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad k,n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=(-1)^n\arcsin\frac78+\pi n,\quad y=(-1)^k\arcsin\frac14+\pi k,\quad k,n\in\mathbb Z.$$