Упр.1262 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sinx/siny=5/3
cosx/cosy=1/3
2) sinx*cosx=1/2
cosx*siny=-1/2

1. Из первого уравнения системы
   $$\frac{\sin x}{\sin y}=\frac{5}{3}, \qquad \frac{\cos x}{\cos y}=\frac{1}{3}$$
   получаем
   $$3\sin x=5\sin y,\qquad 3\cos x=\cos y.$$

   Возведём оба равенства в квадрат и сложим:
   $$ 9\sin^2 x=25\sin^2 y,\qquad 9\cos^2 x=\cos^2 y, $$
   $$ 9(\sin^2 x+\cos^2 x)=25\sin^2 y+\cos^2 y. $$
   Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ то
   $$ 9=25\sin^2 y+\cos^2 y. $$
   Подставим $$\sin^2 y=1-\cos^2 y$$:
   $$ 9=25(1-\cos^2 y)+\cos^2 y=25-24\cos^2 y. $$
   Отсюда
   $$ 24\cos^2 y=16,\qquad \cos^2 y=\frac{2}{3}. $$
   Значит,
   $$ \cos y=\pm \frac{\sqrt6}{3}. $$

   Тогда
   $$ y=\pm \arccos\frac{\sqrt6}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$
   Из равенства $$3\cos x=\cos y$$ получаем
   $$ \cos x=\pm \frac{\sqrt6}{9}, $$
   а из $$3\sin x=5\sin y$$ и условия $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$ следует
   $$ \sin x=\pm \frac{5\sqrt3}{9}. $$
   Поэтому
   $$ x=\pm \arccos\frac{\sqrt6}{9}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

2. Из системы
   $$\sin x\cos y=\frac12,\qquad \cos x\sin y=-\frac12$$
   сложим уравнения:
   $$ \sin x\cos y+\cos x\sin y=0, $$
   $$ \sin(x+y)=0. $$
   Значит,
   $$ x+y=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$ \sin x\cos y-\cos x\sin y=1, $$
   $$ \sin(x-y)=1. $$
   Тогда
   $$ x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. $$

   Решаем систему
   $$ \begin{cases} x+y=\pi n,\\ x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \end{cases} $$
   Складывая уравнения, получаем
   $$ 2x=\pi n+\frac{\pi}{2}+2\pi k, $$
   $$ x=\frac{\pi}{4}+\pi k+\frac{\pi n}{2}. $$
   Тогда
   $$ y=\pi n-x=-\frac{\pi}{4}-\pi k+\frac{\pi n}{2}. $$

Ответ

1) $$\left(\pm \arccos\frac{\sqrt6}{9}+2\pi n,\ \pm \arccos\frac{\sqrt6}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(\frac{\pi}{4}+\pi k+\frac{\pi n}{2},\ -\frac{\pi}{4}-\pi k+\frac{\pi n}{2}\right),\quad k,n\in\mathbb Z.$$