Упр.1261 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1261.
1) sinycosy=1/2
sin2x+sin2y=0
2) sinx+siny=1
cosx-cosy=v3

1) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \sin y \cos y=\frac12,\\ \sin 2x+\sin 2y=0. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ \frac12 \sin 2y=\frac12,\qquad \sin 2y=1. $$

Тогда

$$ 2y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad y=\frac{\pi}{4}+\pi n. $$

Из второго уравнения:

$$ \sin 2x+1=0,\qquad \sin 2x=-1. $$

Следовательно,

$$ 2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k. $$

Итак,

$$ \left(x,y\right)=\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k,\ \frac{\pi}{4}+\pi n\right),\qquad k,n\in\mathbb Z. $$

2) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \sin x+\sin y=1,\\ \cos x-\cos y=\sqrt3. \end{cases} $$

Используем формулы преобразования суммы в произведение:

$$ 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}=1, $$

$$ -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}=\sqrt3. $$

Делим второе уравнение на первое:

$$ -\tan\frac{x-y}{2}=\sqrt3,\qquad \tan\frac{x-y}{2}=-\sqrt3. $$

Отсюда

$$ \frac{x-y}{2}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad x-y=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n. $$

Подставим это в первое уравнение:

$$ \sin\left(y-\frac{2\pi}{3}\right)+\sin y=1. $$

Раскроем синус разности:

$$ \sin y\cos\frac{2\pi}{3}-\cos y\sin\frac{2\pi}{3}+\sin y=1, $$

$$ -\frac12\sin y-\frac{\sqrt3}{2}\cos y+\sin y=1, $$

$$ \frac12\sin y-\frac{\sqrt3}{2}\cos y=1. $$

Это равносильно

$$ \sin\left(y-\frac{\pi}{3}\right)=1. $$

Тогда

$$ y-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad y=\frac{5\pi}{6}+2\pi k. $$

Из равенства $$x-y=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ получаем

$$ x=\frac{5\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}+2\pi n=\frac{\pi}{6}+2\pi n. $$

Значит,

$$ \left(x,y\right)=\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k\right),\qquad k,n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k,\ \frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ k,n\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k\right),\ k,n\in\mathbb Z.$$