Упр.1260 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$\frac{(\sqrt{3}+1)\sin 3x+\sin 5x}{|\sin x|}=\sqrt{3}.$$

   Рассмотрим два случая.

   1) Если $$\sin x>0,$$ то $$|\sin x|=\sin x.$$ Тогда

   $$ (\sqrt{3}+1)\sin 3x+\sin 5x=\sqrt{3}\sin x. $$

   $$ \sqrt{3}(\sin 3x-\sin x)+(\sin 3x+\sin 5x)=0. $$

   $$ \sqrt{3}\cdot 2\sin x\cos 2x+2\sin 4x\cos x=0. $$

   $$ 2\cos 2x\bigl(\sqrt{3}\sin x+2\sin 2x\cos x\bigr)=0. $$

   $$ \cos 2x\cdot \sin x\cdot (\sqrt{3}+4\cos^2 x)=0. $$

   Так как $$\sin x>0,$$ то $$\sin x\neq 0,$$ а $$\sqrt{3}+4\cos^2 x>0.$$ Значит,

   $$ \cos 2x=0. $$

   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}. $$

   2) Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x.$$ Тогда

   $$ (\sqrt{3}+1)\sin 3x+\sin 5x=-\sqrt{3}\sin x. $$

   $$ \sqrt{3}(\sin 3x+\sin x)+(\sin 3x+\sin 5x)=0. $$

   $$ \sqrt{3}\cdot 2\sin 2x\cos x+2\sin 4x\cos x=0. $$

   $$ 2\cos x\bigl(\sqrt{3}\sin 2x+\sin 4x\bigr)=0. $$

   $$ \cos x\cdot \sin 2x\cdot (\sqrt{3}+2\cos 2x)=0. $$

   Так как $$\sin x<0,$$ то $$\sin x\neq 0.$$ Получаем:

   $$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{2},\qquad x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n. $$

2. $$ \frac{(\sqrt{3}+1)\cos 3x-\cos 5x}{|\cos x|}=\sqrt{3}. $$

   1) Если $$\cos x>0,$$ то $$|\cos x|=\cos x.$$ Тогда

   $$ (\sqrt{3}+1)\cos 3x-\cos 5x=\sqrt{3}\cos x. $$

   $$ \sqrt{3}(\cos 3x-\cos x)+(\cos 3x-\cos 5x)=0. $$

   $$ \sqrt{3}\cdot(-2)\sin 2x\sin x-2\sin 4x\sin(-x)=0. $$

   $$ 2\sin x\bigl(\sin 4x-\sqrt{3}\sin 2x\bigr)=0. $$

   $$ \sin x\cdot \sin 2x\cdot (2\cos 2x-\sqrt{3})=0. $$

   Отсюда

   $$ \sin x=0,\qquad \sin 2x=0,\qquad \cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

   $$ x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{2},\qquad x=\pm\frac{\pi}{12}+\pi n. $$

   2) Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x.$$ Тогда

   $$ (\sqrt{3}+1)\cos 3x-\cos 5x=-\sqrt{3}\cos x. $$

   $$ \sqrt{3}(\cos 3x+\cos x)+(\cos 3x-\cos 5x)=0. $$

   $$ \sqrt{3}\cdot 2\cos 2x\cos x+2\sin 4x\sin x=0. $$

   $$ 2\cos 2x\bigl(\sqrt{3}\cos x+2\sin 2x\sin x\bigr)=0. $$

   $$ \cos 2x\cdot \cos x\cdot (\sqrt{3}+4\sin^2 x)=0. $$

   Так как $$\cos x<0,$$ то $$\cos x\neq 0.$$ Значит,

   $$ \cos 2x=0. $$

   $$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}. $$

3. $$ \frac{2\sin 3x}{\sin x}=\frac{|\cos 6x|}{\cos 2x}. $$

   1) Если $$\cos 6x>0,$$ то

   $$ \frac{2\sin 3x}{\sin x}=\frac{\cos 6x}{\cos 2x}. $$

   $$ \frac{2(3\sin x-4\sin^3 x)}{\sin x}=\frac{4\cos^3 2x-3\cos 2x}{\cos 2x}. $$

   $$ 6-8\sin^2 x=4\cos^2 2x-3. $$

   $$ 9-8(1-\cos^2 x)=4(2\cos^2 x-1)^2. $$

   $$ 16\cos^4 x-24\cos^2 x+3=0. $$

   $$ \cos^2 x=\frac{3\pm\sqrt{6}}{4}. $$

   Подходит только

   $$ \cos 2x=\frac{1-\sqrt{6}}{2}. $$

   $$ x=\pm\frac12\arccos\frac{1-\sqrt{6}}{2}+\pi n. $$

   2) Если $$\cos 6x<0,$$ то

   $$ \frac{2\sin 3x}{\sin x}=\frac{-\cos 6x}{\cos 2x}. $$

   $$ \frac{2(3\sin x-4\sin^3 x)}{\sin x}=\frac{3\cos 2x-4\cos^3 2x}{\cos 2x}. $$

   $$ 16\cos^4 x-8\cos^2 x-1=0. $$

   $$ \cos^2 x=\frac{1\pm\sqrt{2}}{4}. $$

   Подходит только

   $$ \cos 2x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}. $$

   $$ x=\pm\frac12\arccos\frac{\sqrt{2}-1}{2}+\pi n. $$

4. $$ \frac{\sin 6x}{|\sin 4x|}=\frac{\cos 3x}{\cos x}. $$

   1) Если $$\sin 4x>0,$$ то

   $$ \frac{\sin 6x}{\sin 4x}=\frac{\cos 3x}{\cos x}. $$

   $$ \frac{3\sin 2x-4\sin^3 2x}{2\sin 2x\cos 2x}=\frac{4\cos^3 x-3\cos x}{\cos x}. $$

   $$ 4\cos^2 x=3. $$

   $$ \cos^2 x=\frac34,\qquad \cos 2x=\frac12. $$

   $$ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n. $$

   2) Если $$\sin 4x<0,$$ то

   $$ \frac{\sin 6x}{-\sin 4x}=\frac{\cos 3x}{\cos x}. $$

   $$ 32\cos^4 x-36\cos^2 x+9=0. $$

   $$ \cos^2 x=\frac34 \quad \text{или} \quad \cos^2 x=\frac18. $$

   $$ \cos 2x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-\frac14. $$

   $$ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad x=\pm\frac12\arccos\!\left(-\frac14\right)+\pi n. $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pm\frac{5\pi}{12}+\pi n.$$
2) $$x=\pi n,\ \frac{\pi n}{2},\ \pm\frac{\pi}{12}+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
3) $$x=\pm\frac12\arccos\frac{1-\sqrt{6}}{2}+\pi n,\ \pm\frac12\arccos\frac{\sqrt{2}-1}{2}+\pi n.$$
4) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \pm\frac12\arccos\!\left(-\frac14\right)+\pi n,\ \frac{\pi}{6}+\pi n.$$