Упр.126 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) система
x2-2y-2=0,
x2+y2-5=0;
2) система
x2-2xy+y2=4,
xy=3;
3) система
x-y=17,
корень x — корень y = 1;
4) система
x-y=40,
корень x + корень y = 20.

Подробный ответ

Из первого уравнения выразим $$x^2$$:
$$x^2=2y+2.$$
Подставим во второе:
$$ 2y+2+y^2-5=0 $$
$$ y^2+2y-3=0 $$
$$ (y+3)(y-1)=0 $$
Отсюда $$y=-3$$ или $$y=1$$.
1) Если $$y=-3$$, то
$$ x^2=2\cdot(-3)+2=-4, $$
что невозможно для действительных чисел.
2) Если $$y=1$$, то
$$ x^2=2\cdot1+2=4, $$
значит, $$x=\pm2$$.
Получаем решения: $$(-2;1)$$ и $$(2;1)$$.
Из второго уравнения:
$$xy=3.$$
Тогда
$$ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2=4. $$
Значит,
$$ x-y=\pm2. $$
Рассмотрим оба случая.
1) $$x-y=2$$. Тогда
$$ x=y+2,\quad (y+2)y=3 $$
$$ y^2+2y-3=0 $$
$$ (y+3)(y-1)=0. $$
Отсюда $$y=-3$$ или $$y=1$$. Тогда соответственно $$x=-1$$ или $$x=3$$.
2) $$x-y=-2$$. Тогда
$$ x=y-2,\quad (y-2)y=3 $$
$$ y^2-2y-3=0 $$
$$ (y-3)(y+1)=0. $$
Отсюда $$y=3$$ или $$y=-1$$. Тогда соответственно $$x=1$$ или $$x=-3$$.
Получаем решения: $$(-1;-3)$$, $$(3;1)$$, $$(-3;-1)$$, $$(1;3)$$.
Так как $$x-y=17$$, то
$$ (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=17. $$
По условию $$\sqrt{x}-\sqrt{y}=1$$, значит
$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}=17. $$
Решим систему:
$$ \begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=1,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=17. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$ 2\sqrt{x}=18,\quad \sqrt{x}=9,\quad x=81. $$
Тогда
$$ \sqrt{y}=17-9=8,\quad y=64. $$
Получаем решение: $$(81;64)$$.
Так как $$x-y=40$$, то
$$ (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=40. $$
По условию $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=20$$, значит
$$ \sqrt{x}-\sqrt{y}=2. $$
Решим систему:
$$ \begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=2,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=20. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$ 2\sqrt{x}=22,\quad \sqrt{x}=11,\quad x=121. $$
Тогда
$$ \sqrt{y}=20-11=9,\quad y=81. $$
Получаем решение: $$(121;81)$$.