Упр.1259 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) v(2cosx-sinx)=ctgx*vsinx
2) v(6sinxcos2x)=v(-7sin2x)
3) v(5tgx+10)=5/2sinx+1/cosx
4) v(12-6v2*tgx)=3sinx-v2/cosx

1. $$\sqrt{2\cos x-\sin x}=\ctg x\sqrt{\sin x}$$

   Возведём обе части в квадрат:
   $$2\cos x-\sin x=\ctg^2 x\cdot \sin x=\frac{\cos^2 x}{\sin x}.$$

   Умножим на $$\sin x$$:
   $$ 2\cos x\sin x-\sin^2 x-\cos^2 x=0 $$
   $$ \sin 2x-1=0. $$

   Тогда
   $$ \sin 2x=1,\qquad 2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, $$
   $$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n. $$

   Проверка области определения: $$\sin x\ge 0$$ и $$\ctg x\ge 0$$, значит подходят только значения
   $$ x=\frac{\pi}{4}+2\pi n. $$

2. $$\sqrt{6\sin x\cos 2x}=\sqrt{-7\sin 2x}$$

   Возведём обе части в квадрат:
   $$ 6\sin x\cos 2x=-7\sin 2x. $$
   Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$, получаем
   $$ 6\sin x\cos 2x=-14\sin x\cos x. $$

   Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
   $$ 2\sin x\,(3\cos 2x+7\cos x)=0. $$

   Отсюда:
   $$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad 3\cos 2x+7\cos x=0. $$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$

   2) Используем $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
   $$ 3(2\cos^2 x-1)+7\cos x=0, $$
   $$ 6\cos^2 x+7\cos x-3=0. $$
   Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
   $$ 6t^2+7t-3=0. $$
   $$ D=7^2+4\cdot 6\cdot 3=121, $$
   $$ t_1=\frac{-7-11}{12}=-\frac32,\qquad t_2=\frac{-7+11}{12}=\frac13. $$
   Значение $$t_1$$ не подходит, поэтому
   $$ \cos x=\frac13, $$
   $$ x=\pm \arccos\frac13+2\pi n. $$

   Проверка области определения: $$-7\sin 2x\ge 0$$, то есть $$\sin 2x\le 0$$. Из найденных решений подходят
   $$ x=\pi n,\qquad x=-\arccos\frac13+2\pi n. $$

3. $$\sqrt{5\tg x+10}=\frac52\sin x+\frac1{\cos x}$$

   Возведём обе части в квадрат:
   $$ 5\tg x+10=\frac{25}{4}\sin^2 x+\frac{5\sin x}{\cos x}+\frac1{\cos^2 x}. $$
   Так как $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$$, получаем
   $$ 5\tg x+10=\frac{25}{4}\sin^2 x+5\tg x+\frac1{\cos^2 x}. $$

   После преобразований:
   $$ \frac{25}{4}(1-\cos^2 x)+\frac1{\cos^2 x}-10=0, $$
   $$ 25\cos^4 x+15\cos^2 x-4=0. $$

   Пусть $$y=\cos^2 x$$. Тогда
   $$ 25y^2+15y-4=0. $$
   $$ D=15^2+4\cdot 25\cdot 4=625, $$
   $$ y_1=-\frac45,\qquad y_2=\frac15. $$
   Значение $$y_1$$ не подходит, поэтому
   $$ \cos^2 x=\frac15,\qquad \cos x=\pm \frac1{\sqrt5}. $$

   Тогда
   $$ x=\pm \arccos\frac1{\sqrt5}+2\pi n $$
   и
   $$ x=\pi\pm \arccos\frac1{\sqrt5}+2\pi n. $$

   Область определения: $$5\tg x+10\ge 0$$, то есть $$\tg x\ge -2$$. Из найденных решений подходят
   $$ x=-\arccos\frac1{\sqrt5}+\pi(2n+1),\qquad x=\pm \arccos\frac1{\sqrt5}+2\pi n. $$

4. $$\sqrt{12-6\sqrt2\,\tg x}=3\sin x-\frac{\sqrt2}{\cos x}$$

   Возведём обе части в квадрат:
   $$ 12-6\sqrt2\,\tg x=9\sin^2 x-\frac{6\sqrt2\sin x}{\cos x}+\frac2{\cos^2 x}. $$
   Так как $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$$, получаем
   $$ 12-6\sqrt2\,\tg x=9\sin^2 x-6\sqrt2\,\tg x+\frac2{\cos^2 x}. $$

   После сокращения:
   $$ 9(1-\cos^2 x)+\frac2{\cos^2 x}-12=0, $$
   $$ 9\cos^4 x+3\cos^2 x-2=0. $$

   Пусть $$y=\cos^2 x$$. Тогда
   $$ 9y^2+3y-2=0. $$
   $$ D=3^2+4\cdot 9\cdot 2=81, $$
   $$ y_1=-\frac23,\qquad y_2=\frac13. $$
   Значение $$y_1$$ не подходит, поэтому
   $$ \cos^2 x=\frac13,\qquad \cos x=\pm \frac1{\sqrt3}. $$

   Тогда
   $$ x=\pm \arccos\frac1{\sqrt3}+2\pi n $$
   и
   $$ x=\pi\pm \arccos\frac1{\sqrt3}+2\pi n. $$

   Область определения: $$12-6\sqrt2\,\tg x\ge 0$$, то есть $$\tg x\le \sqrt2$$. Подходят
   $$ x=\arccos\frac1{\sqrt3}+\pi n,\qquad x=\pi-\arccos\frac1{\sqrt3}+2\pi n. $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$;
2) $$x=\pi n,\; x=-\arccos\frac13+2\pi n$$;
3) $$x=-\arccos\frac1{\sqrt5}+\pi(2n+1),\; x=\pm \arccos\frac1{\sqrt5}+2\pi n$$;
4) $$x=\arccos\frac1{\sqrt3}+\pi n,\; x=\pi-\arccos\frac1{\sqrt3}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.