Упр.1258 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
$$\frac{2\cos x+\sin^2 x}{\operatorname{ctg}x-\sin 2x}=\operatorname{tg}2x$$
Преобразуем левую часть:
$$\operatorname{ctg}x-\sin 2x=\frac{\cos x}{\sin x}-2\sin x\cos x=\frac{\cos x(1-2\sin^2 x)}{\sin x}=\frac{\cos x\cos 2x}{\sin x}.$$Тогда
$$ \frac{2\cos x+\sin^2 x}{\operatorname{ctg}x-\sin 2x} = \frac{2\cos x+1-\cos^2 x}{\cos x\cos 2x/\sin x} = \frac{\sin x(2\cos x+1-\cos^2 x)}{\cos x\cos 2x}. $$Правая часть:
$$\operatorname{tg}2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{\cos 2x}.$$Получаем
$$ \frac{\sin x(2\cos x+1-\cos^2 x)}{\cos x\cos 2x} = \frac{2\sin x\cos x}{\cos 2x}. $$
После умножения на $$\cos x\cos 2x$$:
$$ \sin x(2\cos x+1-\cos^2 x)=2\sin x\cos^2 x. $$
Переносим всё в одну сторону:
$$ \sin x(3\cos^2 x-2\cos x-1)=0. $$Отсюда:
$$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad 3\cos^2 x-2\cos x-1=0. $$Решаем квадратное уравнение:
$$ 3\cos^2 x-2\cos x-1=0, $$
$$ D=4+12=16, $$
$$ \cos x=\frac{2\pm 4}{6}. $$
Тогда
$$ \cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac13. $$Учитывая область определения исходного уравнения, значения $$x=\pi n$$ и $$x=2\pi n$$ не подходят, так как при них обращаются в нуль знаменатели. Остаётся
$$ \cos x=-\frac13. $$$$\frac{\operatorname{ctg}x-\operatorname{tg}x}{\cos x+3\cos 2x}=\operatorname{ctg}2x$$
Преобразуем числитель:
$$ \operatorname{ctg}x-\operatorname{tg}x = \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\sin x\cos x} = \frac{\cos 2x}{\sin x\cos x}. $$Тогда
$$ \frac{\operatorname{ctg}x-\operatorname{tg}x}{\cos x+3\cos 2x} = \frac{\cos 2x}{\sin x\cos x(\cos x+3\cos 2x)}. $$
А
$$ \operatorname{ctg}2x=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{\cos 2x}{2\sin x\cos x}. $$После сокращения на $$\cos 2x$$ получаем:
$$ \frac{1}{\sin x\cos x(\cos x+3\cos 2x)}=\frac{1}{2\sin x\cos x}. $$
Значит,
$$ \cos x+3\cos 2x=2. $$Подставим $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
$$ \cos x+3(2\cos^2 x-1)=2, $$
$$ 6\cos^2 x+\cos x-5=0. $$
Тогда
$$ D=1+120=121, $$
$$ \cos x=\frac{-1\pm 11}{12}. $$
Получаем
$$ \cos x=-1 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac56. $$Значение $$\cos x=-1$$ не подходит из-за области определения. Поэтому
$$ \cos x=\frac56. $$$$\frac{\cos 3x-\sin x}{\cos 5x-\sin 3x}=1$$
Тогда
$$ \cos 3x-\sin x=\cos 5x-\sin 3x, $$
$$ \cos 5x-\cos 3x+\sin x-\sin 3x=0. $$
Используем формулы приведения к произведению:
$$ -2\sin 4x\sin x-2\sin x\cos 2x=0, $$
$$ -2\sin x(\sin 4x+\cos 2x)=0. $$
Так как
$$ \sin 4x=2\sin 2x\cos 2x, $$
то
$$ \sin x\cos 2x(2\sin 2x+1)=0. $$Отсюда:
$$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 2x+1=0. $$1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$
2) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
3) $$2\sin 2x+1=0 \Rightarrow \sin 2x=-\frac12,$$
поэтому
$$ 2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n, $$
$$ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. $$$$\frac{\cos 3x+\sin 5x}{\cos x+\sin 3x}=-1$$
Тогда
$$ \cos 3x+\sin 5x=-\cos x-\sin 3x, $$
$$ \cos 3x+\cos x+\sin 5x+\sin 3x=0. $$
Преобразуем:
$$ 2\cos 2x\cos x+2\sin 4x\cos x=0, $$
$$ 2\cos x(\cos 2x+\sin 4x)=0. $$
Так как
$$ \sin 4x=2\sin 2x\cos 2x, $$
получаем
$$ \cos x\cos 2x(1+2\sin 2x)=0. $$Отсюда:
$$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 2x+1=0. $$1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
2) $$\cos 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
3) $$2\sin 2x+1=0 \Rightarrow \sin 2x=-\frac12,$$
поэтому
$$ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. $$
Ответ
1) $$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n.$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; x=\pm \arccos\frac56+2\pi n.$$
3) $$x=\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$
4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$
