Упр.1257 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

2) cos3x+|cosx| =sin2x

Подробный ответ

$$\sin 3x+|\sin x|=\sin 2x$$
Рассмотрим два случая.
1) $$\sin x\ge 0$$
Тогда $$|\sin x|=\sin x$$, и получаем:
$$\sin 3x+\sin x=\sin 2x$$
$$2\sin 2x\cos x=\sin 2x$$
$$\sin 2x\,(2\cos x-1)=0$$
Отсюда:
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$
1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$
С учётом условия $$\sin x\ge 0$$ получаем:
$$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
2) $$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
С учётом $$\sin x\ge 0$$ остаётся:
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
2) $$\sin x<0$$
Тогда $$|\sin x|=-\sin x$$, и:
$$\sin 3x-\sin x=\sin 2x$$
$$2\sin x\cos 2x=\sin 2x$$
$$2\sin x(\cos 2x-\cos x)=0$$
Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
$$2\sin x\,(1-2\sin^2 x-\cos x)=0$$
После преобразования получаем:
$$\sin x\,(2\sin^2 x+\sin x-1)=0$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin^2 x+\sin x-1=0.$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$ но это не подходит при $$\sin x<0$$.
2) Решим квадратное уравнение:
$$2t^2+t-1=0,\quad t=\sin x.$$
$$D=1+8=9,$$
$$t_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad t_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$
При $$\sin x<0$$ подходит только $$\sin x=-1$$, значит:
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
$$\cos 3x+|\cos x|=\sin 2x$$
Рассмотрим два случая.
1) $$\cos x\ge 0$$
Тогда $$|\cos x|=\cos x$$, и:
$$\cos 3x+\cos x=\sin 2x$$
$$2\cos 2x\cos x=2\sin x\cos x$$
$$2\cos x\,(\cos 2x-\sin x)=0$$
$$\cos x\,(1-2\sin^2 x-\sin x)=0$$
$$\cos x\,(2\sin^2 x+\sin x-1)=0.$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin^2 x+\sin x-1=0.$$
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
2) $$2\sin^2 x+\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=-1 \text{ или } \sin x=\frac12.$$
При $$\cos x\ge 0$$ подходит только $$\sin x=\frac12$$, значит:
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$
2) $$\cos x<0$$
Тогда $$|\cos x|=-\cos x$$, и:
$$\cos 3x-\cos x=\sin 2x$$
$$-2\sin 2x\sin x=\sin 2x$$
$$\sin 2x\,(2\sin x+1)=0$$
Отсюда:
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+1=0.$$
1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$
С учётом $$\cos x<0$$ получаем:
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
2) $$2\sin x+1=0 \Rightarrow \sin x=-\frac12.$$
Тогда:
$$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$
С учётом $$\cos x<0$$ остаётся:
$$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$