Упр.1256 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) sin^6x + cos^6x =1/4;
3) sin^2x + sin^2 2x = sin^2 3x;
4) cos^2x + cos^2 2x = sin^2 3x + sin^2 4x.

1. $$\sin^4 x+\cos^4 x=\frac12\sin^2 2x.$$

   $$\sin^4 x+2\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x-2\sin^2 x\cos^2 x=\frac12\sin^2 2x,$$
   $$\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)^2-\frac12\sin^2 2x=\frac12\sin^2 2x,$$
   $$1-\frac12\sin^2 2x=\frac12\sin^2 2x,$$
   $$\sin^2 2x=1.$$

   Тогда
   $$\cos 4x=-1,$$
   $$4x=\pi+2\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin^6 x+\cos^6 x=\frac14.$$

   $$\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)\left(\sin^4 x-\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x\right)=\frac14,$$
   $$\sin^4 x+\cos^4 x-\sin^2 x\cos^2 x=\frac14,$$
   $$\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)^2-3\sin^2 x\cos^2 x=\frac14,$$
   $$1-\frac34\sin^2 2x=\frac14,$$
   $$\sin^2 2x=1.$$

   Следовательно,
   $$\cos 4x=-1,$$
   $$4x=\pi+2\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^2 3x.$$

   $$\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1-\cos 6x}{2},$$
   $$1-\frac12(\cos 2x+\cos 4x)=\frac12-\frac12\cos 6x,$$
   $$\cos 2x+\cos 4x=\cos 6x+1.$$

   Используем формулы приведения к произведению:
   $$\cos 2x+\cos 4x=2\cos 3x\cos x,$$
   $$\cos 6x+1=2\cos^2 3x.$$
   Тогда
   $$2\cos 3x\cos x=2\cos^2 3x,$$
   $$\cos 3x(\cos 3x-\cos x)=0.$$

   Отсюда:
   $$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=\cos x.$$

   1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$

   2) $$\cos 3x=\cos x \Rightarrow 2\sin 2x\sin x=0,$$
   значит,
   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$
   Тогда
   $$x=\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\pi n.$$

4. $$\cos^2 x+\cos^2 2x=\sin^2 3x+\sin^2 4x.$$

   $$\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}=\frac{1-\cos 6x}{2}+\frac{1-\cos 8x}{2},$$
   $$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=0.$$

   Сгруппируем:
   $$2\cos 5x\cos 3x+2\cos 5x\cos x=0,$$
   $$2\cos 5x(\cos 3x+\cos x)=0,$$
   $$2\cos 5x\cdot 2\cos 2x\cos x=0.$$

   Значит,
   $$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
3) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ x=\frac{\pi n}{2},\ x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
4) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$