Упр.1255 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) sin2x — cos2x = tgx.

1. $$\sin 2x+\cos 2x=2\tg x+1$$

   Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$, $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ и $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$:

   $$ 2\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x=2\tg x+1 $$
   $$ 2\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x-2\tg x-1=0 $$
   $$ 2\sin x\cos x-2\sin^2 x-\frac{2\sin x}{\cos x}=0 $$
   $$ 2\sin x\left(\cos x-\sin x-\frac{1}{\cos x}\right)=0 $$

   Отсюда:

   $$ \sin x=0 $$
   или
   $$ \cos x-\sin x-\frac{1}{\cos x}=0 $$

   Во втором уравнении умножим на $$\cos x$$:

   $$ \cos^2 x-\sin x\cos x-1=0 $$
   $$ -\sin x\cos x-\sin^2 x=0 $$
   $$ \tg x+\tg^2 x=0 $$
   $$ \tg x(1+\tg x)=0 $$

   Тогда:

   $$ \tg x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=-1 $$

   Получаем:

   $$ x=\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2. $$\sin 2x-\cos 2x=\tg x$$

   Преобразуем левую часть:

   $$ 2\sin x\cos x-(\cos^2 x-\sin^2 x)=\tg x $$
   $$ 2\sin x\cos x-\cos^2 x+\sin^2 x-\tg x=0 $$
   $$ 2\sin x\cos x-1+2\sin^2 x-\frac{\sin x}{\cos x}=0 $$

   Умножим на $$\cos x$$:

   $$ 2\sin x\cos^2 x-\cos x+2\sin^2 x\cos x-\sin x=0 $$
   $$ 2\sin x\cos x(\cos x+\sin x)-(\cos x+\sin x)=0 $$
   $$ (\cos x+\sin x)(2\sin x\cos x-1)=0 $$
   $$ (\cos x+\sin x)(\sin 2x-1)=0 $$

   Следовательно:

   $$ \cos x+\sin x=0 $$
   или
   $$ \sin 2x=1 $$

   1) $$\cos x+\sin x=0$$, значит $$\tg x=-1$$, откуда

   $$ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

   2) $$\sin 2x=1$$, значит

   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n $$
   $$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

1) $$x=\pi n,\; -\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) $$x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\; \dfrac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$