Упр.1254 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 2cos3x = 3sinx + cosx;
2) cos3x — cos2x = sin3x.

1. $$2\cos 3x=3\sin x+\cos x$$

   $$2\cos 3x+2\cos x=3\sin x+3\cos x$$

   $$2\cdot 2\cos 2x\cos x=3(\sin x+\cos x)$$

   $$4(\cos^2 x-\sin^2 x)\cos x=3(\sin x+\cos x)$$

   $$4(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\cos x=3(\sin x+\cos x)$$

   $$(\sin x+\cos x)(4\cos^2 x-4\sin x\cos x-3)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x+\cos x=0 \quad \text{или} \quad 4\cos^2 x-4\sin x\cos x-3=0.$$

   1) $$\sin x+\cos x=0$$

   $$\tg x=-1$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$4\cos^2 x-4\sin x\cos x-3=0$$

   Делим на $$\cos^2 x$$:

   $$4-4\tg x-3\tg^2 x=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

   $$3y^2+4y-4=0$$

   $$D=4^2+4\cdot 3\cdot 4=64$$

   $$y_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{6}$$

   $$y_1=\frac{2}{3},\quad y_2=-2.$$

   Значит,

   $$\tg x=\frac{2}{3}\quad \text{или} \quad \tg x=-2.$$

   $$x=\arctg\frac{2}{3}+\pi n,\quad x=-\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos 3x-\cos 2x=\sin 3x$$

   $$\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x-\cos 2x=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x$$

   $$\cos 2x(\cos x-1)-\sin 2x\sin x=2\sin x\cos^2 x+(\cos^2 x-\sin^2 x)\sin x$$

   $$\cos^3 x-\cos^2 x-3\sin^2 x\cos x+\sin^2 x=3\cos^2 x\sin x-\sin^3 x$$

   $$\cos^3 x+\sin^3 x-3\sin x\cos x(\sin x+\cos x)+\sin^2 x-\cos^2 x=0$$

   $$(\sin x+\cos x)(\cos^2 x-4\sin x\cos x+\sin^2 x+\sin x-\cos x)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x+\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos^2 x-4\sin x\cos x+\sin^2 x+\sin x-\cos x=0.$$

   1) $$\sin x+\cos x=0$$

   $$\tg x=-1$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\cos^2 x-4\sin x\cos x+\sin^2 x+\sin x-\cos x=0$$

   $$\cos^2 x+\sin^2 x-4\sin x\cos x+\sin x-\cos x=0$$

   $$1-4\sin x\cos x+\sin x-\cos x=0$$

   $$(\sin x-\cos x)^2+(\sin x-\cos x)-2\sin x\cos x=0$$

   Пусть $$y=\sin x-\cos x$$. Тогда

   $$y^2+y-2\sin x\cos x=0,$$

   а так как $$y^2=1-2\sin x\cos x,$$ получаем

   $$y^2+y-1=0.$$

   $$2y^2+2y-2=0$$

   $$y^2+y-1=0$$

   $$D=1+4=5$$

   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt5}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\sin x-\cos x=\frac{-1+\sqrt5}{2}\quad \text{или} \quad \sin x-\cos x=\frac{-1-\sqrt5}{2}.$$

   Используя формулу $$\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$ получаем

   $$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{-1+\sqrt5}{2\sqrt2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{-1-\sqrt5}{2\sqrt2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\arctg\frac{2}{3}+\pi n,\; x=-\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{-1+\sqrt5}{2\sqrt2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{-1-\sqrt5}{2\sqrt2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$