Упр.1252 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1252.
1) sin2x/sinx=0
2) sin3x/sinx=0
3) cos2x/cosx=0
4) cos3x/cosx=0
5) sinx/sin5x=0
6) cosx/cos7x=0

1. $$\frac{\sin 2x}{\sin x}=0$$

   Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\sin 2x=0,\qquad \sin x\ne 0.$$
   $$2x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{2}.$$

   Проверим ОДЗ: при чётных $n$ получаем $x=\pi n$, тогда $\sin x=0$, такие значения не подходят. Остаются нечётные $n$:

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2. $$\frac{\sin 3x}{\sin x}=0$$

   Тогда

   $$\sin 3x=0,\qquad \sin x\ne 0.$$
   $$3x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{3}.$$

   Исключаем значения, при которых $\sin x=0$, то есть $x=\pi n$. Это соответствует $n$, кратным $3$. Поэтому остаются решения

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n.$$

3. $$\frac{\cos 2x}{\cos x}=0$$

   Получаем систему:

   $$\cos 2x=0,\qquad \cos x\ne 0.$$
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

   При чётных $n$ получается $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$, а тогда $\cos x=0$, такие корни не подходят. Остаются

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

4. $$\frac{\cos 3x}{\cos x}=0$$

   Тогда

   $$\cos 3x=0,\qquad \cos x\ne 0.$$
   $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$

   Исключаем значения, при которых $\cos x=0$. В итоге

   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n.$$

5. $$\frac{\sin x}{\sin 5x}=0$$

   Нужно, чтобы

   $$\sin x=0,\qquad \sin 5x\ne 0.$$
   $$x=\pi n.$$

   Но тогда

   $$\sin 5x=\sin 5\pi n=0,$$

   что противоречит ОДЗ. Следовательно, корней нет.

6. $$\frac{\cos x}{\cos 7x}=0$$

   Тогда

   $$\cos x=0,\qquad \cos 7x\ne 0.$$
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   Но при таких $x$

   $$\cos 7x=\cos\left(7\cdot \frac{\pi}{2}+7\pi n\right)=0,$$

   то есть условие ОДЗ не выполняется. Следовательно, корней нет.

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

2) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n$$

3) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

4) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$

5) корней нет

6) корней нет