Упр.1249 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sinx + sin2x + sin3x = 0;
2) cosx — cos3x = cos2x — cos4x.

1. $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$\sin x+\sin 3x+\sin 2x=0$$

   $$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0$$

   $$\sin 2x\,(2\cos x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0$$

   1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \; n\in\mathbb Z.$$

   2) $$2\cos x+1=0 \Rightarrow \cos x=-\frac12.$$

   Тогда

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos x-\cos 3x=\cos 2x-\cos 4x$$

   Перенесём всё в одну сторону и применим формулы разности косинусов:

   $$\cos x-\cos 3x-\cos 2x+\cos 4x=0$$

   $$2\sin 2x\sin x-2\sin 3x\sin x=0$$

   $$\sin x\,(\sin 2x-\sin 3x)=0$$

   Используем формулу разности синусов:

   $$\sin 2x-\sin 3x=2\cos \frac{5x}{2}\sin\left(-\frac{x}{2}\right)=-2\cos \frac{5x}{2}\sin \frac{x}{2}$$

   Тогда

   $$\sin x\cdot \sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{5x}{2}=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{5x}{2}=0$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\sin \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   что уже входит в решение $$x=\pi n.$$

   3) $$\cos \frac{5x}{2}=0 \Rightarrow \frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pi n,\; x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$