Упр.1248 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin^2x — cosxcos3x = 1/4;
2) sin3x = 3sinx;
3) 3cos2x — 7sinx = 4;
4) 1 + cosx + cos2x =0

Решение

1. $$\sin^2 x-\cos x\cos 3x=\frac14.$$

   Используем формулу произведения в сумму:
   $$\cos x\cos 3x=\frac12(\cos 4x+\cos 2x).$$

   Тогда
   $$ \sin^2 x-\frac12(\cos 4x+\cos 2x)-\frac14=0. $$
   Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$ и $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1$$:
   $$ 4\cos^2 2x+4\cos 2x-3=0. $$

   Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда
   $$ 4y^2+4y-3=0, $$
   $$ D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=64. $$
   Отсюда
   $$ y_1=\frac{-4-8}{8}=-\frac32,\qquad y_2=\frac{-4+8}{8}=\frac12. $$
   Значение $$y_1=-\frac32$$ не подходит, так как $$\cos 2x\in[-1;1]$$.

   Значит,
   $$ \cos 2x=\frac12. $$
   Тогда
   $$ 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z, $$
   $$ x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

2. $$\sin 3x=3\sin x.$$

   По формуле $$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$$ получаем:
   $$ 3\sin x-4\sin^3 x=3\sin x, $$
   $$ -4\sin^3 x=0, $$
   $$ \sin x=0. $$
   Следовательно,
   $$ x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

3. $$3\cos 2x-7\sin x=4.$$

   Заменим $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
   $$ 3(1-2\sin^2 x)-7\sin x=4, $$
   $$ 6\sin^2 x+7\sin x+1=0. $$
   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
   $$ 6y^2+7y+1=0, $$
   $$ D=7^2-4\cdot 6\cdot 1=25. $$
   Отсюда
   $$ y_1=\frac{-7-5}{12}=-1,\qquad y_2=\frac{-7+5}{12}=-\frac16. $$

   1) $$\sin x=-1$$, значит
   $$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

   2) $$\sin x=-\frac16$$, значит
   $$ x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac16+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

4. $$1+\cos x+\cos 2x=0.$$

   Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
   $$ 1+\cos x+2\cos^2 x-1=0, $$
   $$ 2\cos^2 x+\cos x=0, $$
   $$ \cos x(2\cos x+1)=0. $$

   Тогда:
   $$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12. $$

   1) $$\cos x=0$$, значит
   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

   2) $$\cos x=-\frac12$$, значит
   $$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
3) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac16+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$