Упр.1247 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) sin^2x + sin^2 2x = 1;
2) sin^2x + cos^2 2x = 1;
3) sin^4x = 6cos^2 2x — 4;
4) 2cos^2 3x + sin5x = 1.

Подробный ответ

$$\sin^2 x+\sin^2 2x=1$$
$$\sin^2 2x=1-\sin^2 x=\cos^2 x$$
$$4\sin^2 x\cos^2 x=\cos^2 x$$
$$\cos^2 x\,(4\sin^2 x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 4\sin^2 x-1=0$$
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
2) $$4\sin^2 x-1=0 \Rightarrow \sin^2 x=\frac14 \Rightarrow \sin x=\pm \frac12$$
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$
$$\sin^2 x+\cos^2 2x=1$$
$$\cos^2 2x=1-\sin^2 x=\cos^2 x$$
$$\cos^4 x+\sin^4 x-2\cos^2 x\sin^2 x-\cos^2 x=0$$
Пусть $$y=\cos^2 x$$. Тогда $$\sin^2 x=1-y$$ и
$$4y^2-5y+1=0$$
$$D=25-16=9$$
$$y_1=\frac14,\quad y_2=1$$
1) $$\cos^2 x=\frac14 \Rightarrow \cos 2x=-\frac12$$
$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n$$
2) $$\cos^2 x=1 \Rightarrow \cos 2x=1$$
$$2x=2\pi n \Rightarrow x=\pi n$$
$$\sin 4x=6\cos^2 2x-4$$
$$2\sin 2x\cos 2x=6\cos^2 2x-4(\cos^2 2x+\sin^2 2x)$$
$$2\sin 2x\cos 2x-2\cos^2 2x+4\sin^2 2x=0$$
$$2\tan 2x-2+4\tan^2 2x=0$$
Пусть $$y=\tan 2x$$. Тогда
$$2y^2+y-1=0$$
$$D=9,\quad y_1=-1,\quad y_2=\frac12$$
1) $$\tan 2x=-1 \Rightarrow 2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$
2) $$\tan 2x=\frac12 \Rightarrow 2x=\arctan \frac12+\pi n$$
$$x=\frac12\arctan \frac12+\frac{\pi n}{2}$$
$$2\cos^2 3x+\sin 5x=1$$
$$2\cos^2 3x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)-1=0$$
$$2\cos^2 3x-\sin^2 3x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)=0$$
$$\cos 6x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)=0$$
$$2\cos\left(\frac{6x+\frac{\pi}{2}-5x}{2}\right)\cos\left(\frac{6x-\frac{\pi}{2}+5x}{2}\right)=0$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{11x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
Отсюда:
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$\cos\left(\frac{11x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \Rightarrow x=\frac{3\pi}{22}+\frac{2\pi n}{11}$$