Упр.1246 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) cos^3x sin x — sin^3xcosx = 1/4;
2) sin^3 xcosx + cos^3xsinx =1/4

1. $$\cos^3 x\sin x-\sin^3 x\cos x=\frac14$$

   Вынесем общий множитель:
   $$\sin x\cos x(\cos^2 x-\sin^2 x)=\frac14.$$

   Используем формулы:
   $$\sin x\cos x=\frac12\sin 2x,\qquad \cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x.$$

   Тогда
   $$\frac12\sin 2x\cos 2x=\frac14,$$
   откуда
   $$\sin 4x=1.$$

   Следовательно,
   $$4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   значит
   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin^3 x\cos x+\cos^3 x\sin x=\frac14$$

   Вынесем общий множитель:
   $$\sin x\cos x(\sin^2 x+\cos^2 x)=\frac14.$$

   Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем
   $$\sin x\cos x=\frac14.$$

   Тогда
   $$\frac12\sin 2x=\frac14,$$
   то есть
   $$\sin 2x=\frac12.$$

   Отсюда
   $$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   значит
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$