Упр.1244 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 1 + 2sinx = sin2x + 2cosx;
2) 1 + 3cosx = sin2x + 3sinx.

1. $$1+2\sin x=\sin 2x+2\cos x$$
   
   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
   $$ 1+2\sin x=2\sin x\cos x+2\cos x $$
   $$ \cos^2 x+\sin^2 x+2\sin x=2\sin x\cos x+2\cos x $$
   $$ \cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x+2\sin x-2\cos x=0 $$
   $$ (\cos x-\sin x)^2-2(\cos x-\sin x)=0 $$
   $$ (\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x-2)=0 $$
   Отсюда:
   $$ \cos x-\sin x=0 $$
   или
   $$ \cos x-\sin x=2 $$
   Второе уравнение решений не имеет, так как $$\cos x-\sin x\in[-\sqrt2,\sqrt2]$$.
   
   Из первого:
   $$ \cos x=\sin x $$
   $$ \tg x=1 $$
   $$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
2. $$1+3\cos x=\sin 2x+3\sin x$$
   
   Подставим $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
   $$ 1+3\cos x=2\sin x\cos x+3\sin x $$
   $$ \cos^2 x+\sin^2 x+3\cos x=2\sin x\cos x+3\sin x $$
   $$ \cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x+3\cos x-3\sin x=0 $$
   $$ (\cos x-\sin x)^2+3(\cos x-\sin x)=0 $$
   $$ (\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x+3)=0 $$
   Отсюда:
   $$ \cos x-\sin x=0 $$
   или
   $$ \cos x-\sin x=-3 $$
   Второе уравнение решений не имеет, так как $$\cos x-\sin x\in[-\sqrt2,\sqrt2]$$.
   
   Из первого:
   $$ \cos x=\sin x $$
   $$ \tg x=1 $$
   $$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.