Упр.1243 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin2x + 2cos2x = 1;
2) cos2x + 3sin2x = 3.

1) Преобразуем уравнение:

$$\sin 2x+2\cos 2x=1$$

$$2\sin x\cos x+2(\cos^2 x-\sin^2 x)=\cos^2 x+\sin^2 x$$

$$2\sin x\cos x+2\cos^2 x-2\sin^2 x-\cos^2 x-\sin^2 x=0$$

$$2\sin x\cos x+\cos^2 x-3\sin^2 x=0$$

Разделим на $$\cos^2 x$$:

$$2\tg x+1-3\tg^2 x=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$3y^2-2y-1=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16$$

$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{6}$$

$$y_1=1,\quad y_2=-\frac13$$

Следовательно,

$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac13$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Решим уравнение:

$$\cos 2x+3\sin 2x=3$$

$$\cos^2 x-\sin^2 x+6\sin x\cos x=3(\cos^2 x+\sin^2 x)$$

$$\cos^2 x-\sin^2 x+6\sin x\cos x-3\cos^2 x-3\sin^2 x=0$$

$$-2\cos^2 x-4\sin^2 x+6\sin x\cos x=0$$

Разделим на $$\cos^2 x$$:

$$-2-4\tg^2 x+6\tg x=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$2y^2-3y+1=0$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}$$

$$y_1=1,\quad y_2=\frac12$$

Следовательно,

$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=\frac12$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\arctg\frac12+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$