Упр.1240 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) sinx sin5x — sin^2 5x = 0

1. $$\cos^2 3x-\cos 3x\cos 5x=0$$

   Вынесем общий множитель:
   $$\cos 3x(\cos 3x-\cos 5x)=0.$$

   Используем формулу:
   $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}.$$

   Тогда
   $$\cos 3x\cdot(-2)\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{3x-5x}{2}=0,$$
   $$-2\cos 3x\sin 4x\sin(-x)=0.$$

   Так как $$\sin(-x)=-\sin x,$$ получаем
   $$\cos 3x\sin 4x\sin x=0.$$

   Отсюда:
   $$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$

   1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3};$$

   2) $$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4};$$

   3) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
   где $$n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x\sin 5x-\sin^2 5x=0$$

   Вынесем общий множитель:
   $$\sin 5x(\sin x-\sin 5x)=0.$$

   Используем формулу:
   $$\sin A-\sin B=2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}.$$

   Тогда
   $$\sin 5x\cdot 2\sin\frac{x-5x}{2}\cos\frac{x+5x}{2}=0,$$
   $$2\sin 5x\sin(-2x)\cos 3x=0.$$

   Так как $$\sin(-2x)=-\sin 2x,$$ получаем
   $$\sin 5x\sin 2x\cos 3x=0.$$

   Отсюда:
   $$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0.$$

   1) $$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5};$$

   2) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2};$$

   3) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},$$
   где $$n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi n}{4},\ \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$