Упр.1239 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin3x = sin5x;
2) cosx = cos3x.

1) $$\sin 3x=\sin 5x$$

Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности синусов:

$$\sin 3x-\sin 5x=0$$

$$2\cos\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{3x-5x}{2}=0$$

$$2\cos 4x\sin(-x)=0$$

$$\cos 4x\sin x=0$$

Отсюда:

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0$$

1) $$\cos 4x=0$$

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\sin x=0$$

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Итак, для первого уравнения:

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}\quad \text{или} \quad x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\cos x=\cos 3x$$

Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности косинусов:

$$\cos x-\cos 3x=0$$

$$-2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2}=0$$

$$-2\sin 2x\sin(-x)=0$$

$$\sin 2x\sin x=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0$$

1) $$\sin 2x=0$$

$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\sin x=0$$

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Это решение уже входит в множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$, поэтому ответ можно записать так:

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$