Упр.1238 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 3sin^2x+ sinx*cosx — 2cos^2 x = 0;
2) 2sin^2x + 3 sin x* cosx — 2cos^2x = 0.

1. $$3\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0.$$
   При $$\cos x\neq 0$$ разделим уравнение на $$\cos^2 x$$:
   $$3\tg^2 x+\tg x-2=0.$$
   Обозначим $$y=\tg x$$. Тогда
   $$3y^2+y-2=0.$$
   $$D=1+24=25,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{6}.$$
   Получаем:
   $$y_1=-1,\qquad y_2=\frac{2}{3}.$$
   Значит,
   $$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=\frac{2}{3}.$$
   Тогда
   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\frac{2}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\sin^2 x+3\sin x\cos x-2\cos^2 x=0.$$
   При $$\cos x\neq 0$$ разделим уравнение на $$\cos^2 x$$:
   $$2\tg^2 x+3\tg x-2=0.$$
   Обозначим $$y=\tg x$$. Тогда
   $$2y^2+3y-2=0.$$
   $$D=9+16=25,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}.$$
   Получаем:
   $$y_1=-2,\qquad y_2=\frac{1}{2}.$$
   Значит,
   $$\tg x=-2 \quad \text{или} \quad \tg x=\frac{1}{2}.$$
   Тогда
   $$x=-\arctg 2+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\frac{1}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; \arctg\frac{2}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=-\arctg 2+\pi n,\; \arctg\frac{1}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$